Как решить: 1ый и 2ой насосы наполняют бассейн за 9 мин, 2ой и 3й - за 10?

Для решения задачи о насосах, наполняющих бассейн, можно воспользоваться методом систем уравнений и анализировать производительность каждого из насосов. Мы рассмотрим задачу шаг за шагом.

### Шаг 1: Ввод переменных

Обозначим производительность насосов как:

- \( A \) — производительность первого насоса (часть бассейна, которую он наполняет за 1 минуту).
- \( B \) — производительность второго насоса.
- \( C \) — производительность третьего насоса.

### Шаг 2: Составление уравнений

Из условия задачи имеем следующие сведения:

1. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут.
   - Это означает, что за 1 минуту они наполняют \( \frac{1}{9} \) бассейна:
   \[
   A + B = \frac{1}{9}
   \]

2. Второй и третий насосы наполняют бассейн за 10 минут.
   - Значит, за 1 минуту они наполняют \( \frac{1}{10} \) бассейна:
   \[
   B + C = \frac{1}{10}
   \]

3. Первый и третий насосы наполняют бассейн за 15 минут.
   - Это значит, что за 1 минуту они наполняют \( \frac{1}{15} \) бассейна:
   \[
   A + C = \frac{1}{15}
   \]

Теперь мы имеем систему из трех уравнений:
\[
\begin{cases}
A + B = \frac{1}{9} \\
B + C = \frac{1}{10} \\
A + C = \frac{1}{15}
\end{cases}
\]

### Шаг 3: Решение системы уравнений

Для решения системы уравнений можно выразить одну из переменных через другие и подставить.

1. Из первого уравнения выразим \( A \):
\[
A = \frac{1}{9} - B
\]
   
2. Подставим \( A \) в третье уравнение:
\[
\left( \frac{1}{9} - B \right) + C = \frac{1}{15}
\]
   Это упрощается до:
\[
C = \frac{1}{15} - \frac{1}{9} + B
\]

3. Найдем общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{9} \) и \( \frac{1}{15} \):
   Общий знаменатель - 45. Тогда:
\[
\frac{1}{15} = \frac{3}{45}, \quad \frac{1}{9} = \frac{5}{45}
\]
Следовательно:
\[
C = B + \frac{3}{45} - \frac{5}{45} = B - \frac{2}{45}
\]

4. Теперь подставим \( C \) из второго уравнения (добавляя \( C = \frac{1}{10} - B \)):
\[
B - \frac{2}{45} = \frac{1}{10} - B
\]
   Переносим \( B \):
\[
2B = \frac{1}{10} + \frac{2}{45}
\]
   Приведя дроби к общему знаменателю (90):
\[
\frac{1}{10} = \frac{9}{90}, \quad \frac{2}{45} = \frac{4}{90} \rightarrow 2B = \frac{9}{90} + \frac{4}{90} = \frac{13}{90}
\]
   Тогда:
\[
B = \frac{13}{180}
\]

### Шаг 4: Нахождение остальных переменных

Теперь подставим значение \( B \) обратно в уравнения:

1. \( A + \frac{13}{180} = \frac{1}{9} \):
\[
A = \frac{1}{9} - \frac{13}{180} = \frac{20}{180} - \frac{13}{180} = \frac{7}{180}
\]

2. \( C = \frac{1}{10} - B = \frac{1}{10} - \frac{13}{180} = \frac{18}{180} - \frac{13}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}
\]

### Шаг 5: Итоговая производительность насосов

Теперь у нас есть значения всех насосов:

- \( A = \frac{7}{180} \)
- \( B = \frac{13}{180} \)
- \( C = \frac{5}{180} \)

### Шаг 6: Совокупная производительность

Теперь найдем общую производительность всех насосов:
\[
A + B + C = \frac{7}{180} + \frac{13}{180} + \frac{5}{180} = \frac{25}{180} = \frac{5}{36}
\]

### Шаг 7: Время заполнения бассейна

Чтобы найти время, необходимое для заполнения бассейна при совместной работе всех насосов, найдем обратную величину производительности:
\[
t = \frac{1}{\frac{5}{36}} = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ минуты}
\]

### Ответ

Таким образом, три насоса, работая вместе, заполнят бассейн за **7.2 минуты**.