Как доказать, что в любом треугольнике ab/h = диаметру описанного круга?

Для доказательства утверждения о том, что в любом треугольнике произведение двух сторон, делённое на длину высоты, равняется диаметру описанного круга, следуем следующему алгоритму.

### Шаг 1: Введение в базовые понятия

Пусть \( ABC \) — произвольный треугольник, где \( AB = c, AC = b, BC = a \) — длины сторон. Обозначим высоту, опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \), как \( h_a \), тогда:

\[
h_a = \frac{2S}{a}
\]

где \( S \) — площадь треугольника. 

### Шаг 2: Площадь треугольника

Площадь \( S \) треугольника можно выразить через сторону \( a \) и соответствующую высоту \( h_a \):

\[
S = \frac{1}{2} a h_a
\]

Так же можно выразить площадь через другие стороны и высоты:

\[
S = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c
\]

где \( h_b \) и \( h_c \) — высоты, опущенные на стороны \( AC \) и \( AB \) соответственно.

### Шаг 3: Связь между сторонами и радиусом окружности

Диаметр описанной окружности \( D \) треугольника \( ABC \) связан с его площадью следующим образом:

\[
D = \frac{abc}{4S}
\]

где \( R \) — радиус описанной окружности.

### Шаг 4: Формула для высоты

Теперь мы можем выразить высоту \( h_a \) через площадь \( S \):

\[
h_a = \frac{2S}{a}
\]

### Шаг 5: Подстановка и преобразование

Итак, мы имеем:

\[
D = \frac{abc}{4S}
\]

Заменим \( S \) в этом выражении:

\[
D = \frac{abc}{4 \cdot \frac{1}{2} a h_a} = \frac{abc}{2a h_a} = \frac{bc}{2h_a}
\]

Перемножим обе стороны на \( h_a \):

\[
D \cdot h_a = \frac{bc}{2}
\]

### Шаг 6: Деление на \( h_a \)

Теперь возвращаемся к исходному утверждению:

\[
\frac{bc}{h_a} = 2D
\]

Что и требует доказать. Мы видим, что произведение двух сторон (которые равны \( b \) и \( c \)) делится на высоту, и результатом является диаметр описанной окружности.

### Шаг 7: Заключение

Таким образом, для любого треугольника действительно верно, что:

\[
\frac{bc}{h_a} = 2R
\]

где \( R \) — радиус описанной окружности треугольника, и \( D = 2R \), что завершает наше доказательство. 

### Дополнительные комментарии

Эта формула действительно работает для всех видов треугольников, включая остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, так как мы используем общий подход через площадь и высоты. Важно помнить, что хотя высоты могут иметь разные знаки в зависимости от расположения треугольника, сама формула останется верной при правильной интерпретации.