Как найти сторону основания прав. четрехуг. призмы, если её объём 64√2?

Для нахождения стороны основания правильной четырёхугольной призмы с заданными параметрами объема и углом между диагональю и боковой гранью, мы будем следовать определенной логике. Давайте разложим решение на несколько этапов.

### Шаг 1: Определим характеристики призмы

Правильная четырёхугольная призма означает, что ее основание является квадратом. Обозначим длину стороны основания квадрата как \( a \). Объем призмы \( V \) определяется как произведение площади основания на высоту:

\[
V = S \cdot h
\]

где \( S \) — площадь основания (в нашем случае квадратного), а \( h \) — высота призмы. Площадь квадрата рассчитывается как:

\[
S = a^2
\]

Следовательно, объем призмы будет равен:

\[
V = a^2 \cdot h
\]

### Шаг 2: Выразим высоту призмы

Так как нам известен объем призмы, равный \( 64\sqrt{2} \), мы можем записать:

\[
64\sqrt{2} = a^2 \cdot h
\]

### Шаг 3: Анализ угла между диагональю и боковой гранью

Теперь учтем дополнительную информацию об угле между диагональю основания и боковой гранью, который составляет \( 30^\circ \). Для правильной призмы длина диагонали основания \( d \) выражается как:

\[
d = a\sqrt{2}
\]

Угол между диагональю и боковой гранью равен \( 30^\circ \). Теперь нам нужно определить, как этот угол связан с высотой \( h \). Мы можем построить прямоугольный треугольник, где:

1. Одна сторона — это высота \( h \).
2. Вторая сторона — это длина диагонали основания \( d \).
3. Угол между высотой и диагональю равен \( 30^\circ \).

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}
\]

Так как \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), мы получаем:

\[
\frac{h}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

### Шаг 4: Выразим высоту через сторону основания

Из этого уравнения можем выразить высоту \( h \):

\[
h = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}
\]

### Шаг 5: Подставим высоту в формулу объема

Теперь, подставив насчитанное значение \( h \) в объем:

\[
64\sqrt{2} = a^2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}
\]

Упрощаем это уравнение:

\[
64\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{3}
\]

Умножаем обе стороны на 3:

\[
192\sqrt{2} = a^3\sqrt{6}
\]

### Шаг 6: Найдем \( a^3 \)

Теперь выразим \( a^3 \):

\[
a^3 = \frac{192\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{192\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{192}{\sqrt{3}}
\]

### Шаг 7: Найдем сторону \( a \)

Чтобы найти сторону основания, возьмем кубический корень:

\[
a = \sqrt[3]{\frac{192}{\sqrt{3}}}
\]

### Шаг 8: Упрощение результата

Теперь можем упростить результаты дальнейшим действием. Если обозначим numeric часть, станет ясно, что сторона \( a \) изделия зависит от \( \sqrt[3]{192} \), которая равна \( 8\sqrt[3]{3} \). 

Итак, длина стороны основания \( a \) равна:

\[
a = 4 \sqrt[3]{\frac{64}{\sqrt{3}}}
\]

### Заключение

Таким образом, мы успешно вычислили сторону основания правильной четырёхугольной призмы. Все шаги, начиная от выражения объёма, использования угловых отношений и манипуляции с уравнениями, привели нас к искомому результату.