Как найти объём правильной треугольной пирамиды SABC?

Чтобы найти объём правильной треугольной пирамиды SABC, где проведено сечение параллельно основанию, воспользуемся некоторыми свойствами подобия и геометрической теорией. Давайте разберём этот процесс пошагово.

### Шаг 1: Определение свойств пирамиды

Пирамида SABC является правильной треугольной, что означает, что основание ABC — это равносторонний треугольник, а S — вершина, расположенная над центром основания. Объём правильной треугольной пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h
\]

где \(S_{основания}\) — площадь треугольника ABC, а \(h\) — высота от точки S до плоскости основания.

### Шаг 2: Параллельное сечение

Проведённое сечение делит боковые ребра в отношении 2:3. Это означает, что расстояние от вершины S до плоскости сечения составляет \(\frac{2}{5}h\), а расстояние от сечения до основания ABC — \(\frac{3}{5}h\).

Кроме того, сечение не только делит боковые ребра, но и само является подобным основанию ABC, так как оно параллельно. Площадь подобного треугольника (сечения) будет пропорциональна квадрату отношения соответствующих линий в подобии.

### Шаг 3: Определение площади основания

Обозначим площадь основания ABC через \(S\). Исходя из подобия, соотношение площадей сечения \(S_{сечения}\) и основания \(S\) можно записать так:

\[
\frac{S_{сечения}}{S} = \left(\frac{2}{5}\right)^2
\]

Подставляя известное значение площади сечения \(S_{сечения} = 6\):

\[
\frac{6}{S} = \frac{4}{25}
\]

Решим это уравнение:

\[
S = 6 \cdot \frac{25}{4} = 37.5
\]

### Шаг 4: Разделение высоты пирамиды

Таким образом, теперь у нас есть площадь основания \(S = 37.5\). Договоримся считать высоту пирамиды \(h\) равной \(4\) (расстояние от S до плоскости сечения). Высота от основания до сечения будет равна \(\frac{3}{5}h\), но нам необходимо всё ещё знать высоту самой пирамиды. Зная, что сечение отрезает высоту в отношении \(2:3\), можно вычислить:

\[
h = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10
\]

### Шаг 5: Подсчёт объёма пирамиды

Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу для вычисления объёма:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 37.5 \cdot 10 = 125
\]

### Заключение

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды SABC составляет:

\[
\boxed{125}
\]

Этот подход использует свойства подобия и геометрические соотношения и позволяет точно определить объём пирамиды, затрагивая разные аспекты её структуры. حالة واضحة تجعل الحساب وبصفت شما جلياً وسهلاً للمعالجة.