Как найти градусную меру двугранного угла PMQP1?

Для нахождения градусной меры двугранного угла PMQP1 в прямом параллелепипеде MNPQM1N1P1Q1, где основание представляет собой квадрат MNPQ, следует рассмотреть несколько ключевых моментов:

### 1. Определение структурирования прямого параллелепипеда
Прямой параллелепипед имеет следующие вершины:
- Нижняя грань: точки M, N, P, Q
- Верхняя грань: точки M1, N1, P1, Q1

Нижнее основание (квадрат MNPQ) можно представить в координатной системе. Предположим, что:
- \( M(0, 0, 0) \)
- \( N(a, 0, 0) \)
- \( P(a, a, 0) \)
- \( Q(0, a, 0) \)

Где \( a \) — длина стороны квадрата.

### 2. Определение высоты параллелепипеда
Согласно условию, \( P1Q = 8\sqrt{3} \) и \( NQ = 12\sqrt{2} \). 

Обозначим высоту параллелепипеда как h. Для этого примем, что:
- \( P_1(a, a, h) \)
- \( Q_1(0, a, h) \)

Согласно условию:
\[
P1Q1 = \sqrt{(0 - a)^2 + (a - a)^2 + (h - h)^2} = a
\]
Здесь важно отметить, что мы ранее ошиблись с направлением векторного расстояния. Так как P1Q = 8√3, следовательно:
\[
a = 8\sqrt{3}
\]

Теперь определим расстояние NQ:
\[
NQ = \sqrt{(0 - a)^2 + (0 - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + h^2} = \sqrt{192 + h^2}
\]
По условию:
\[
\sqrt{192 + h^2} = 12\sqrt{2}
\]
Возведем в квадрат:
\[
192 + h^2 = 288 \implies h^2 = 96 \implies h = 4\sqrt{6}
\]

### 3. Нахождение нормалей к граням
Теперь нам нужно вычислить векторы, которые формируют двугранный угол PMQP1. Векторы:
- \(\overrightarrow{PM} = M - P = (0 - a, 0 - a, 0 - 0) = (-a, -a, 0)\)
- \(\overrightarrow{QP1} = P1 - Q = (a - 0, a - a, h - 0) = (a, 0, h)\)

### 4. Нормализация векторов
Нормы векторов:
\[
|\overrightarrow{PM}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2} = a\sqrt{2}
\]
\[
|\overrightarrow{QP1}| = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{192 + 96} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}
\]

### 5. Косинус угла
Угловые значения между векторами вычисляем через скалярное произведение:
\[
\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{QP1} = (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot h = -a^2 = -(8\sqrt{3})^2 = -192
\]
Таким образом:
\[
\cos \theta = \frac{-192}{a\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{2}} = \frac{-192}{(8\sqrt{3}) \cdot (12\sqrt{2})} = \frac{-192}{96\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}}
\]
Отсюда:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{6}}\right) = 180^\circ - \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)
\]

### Результат
Краткий вывод:
- Градусная мера двугранного угла PMQP1 равна \( \theta \). Окончательно, угол можно выразить в виде угла \( 180^\circ - \alpha \), где \( \alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) \). 

Таким образом, мы нашли градусную меру двугранного угла PMQP1 в данном параллелепипеде.