Как решить: В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 11 и 9?

Для решения задачи о нахождении объема цилиндра, описанного около прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании, давайте следовать полученному алгоритму и детально рассмотрим каждый шаг.

### Шаг 1: Находим площадь основания призмы

В основании находится прямоугольный треугольник с катетами 11 и 9. Площадь \( S \) такого треугольника вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

где \( a \) и \( b \) — длины катетов. Подставим значения:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 9 = \frac{99}{2}
\]

### Шаг 2: Находим высоту призмы

В условии задачи указано, что боковые рёбра призмы равны \( \frac{2}{\pi} \). Это значение также является высотой призмы, обозначим её как \( h \):

\[
h = \frac{2}{\pi}
\]

### Шаг 3: Вычисление объема призмы

Объем \( V \) прямой призмы можно найти по формуле:

\[
V = S \cdot h
\]

Подставив уже найденные значения площади основания и высоты:

\[
V = \frac{99}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{99}{\pi}
\]

### Шаг 4: Определение радиуса окружности описанного цилиндра

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, описанного около призмы, нам нужно определить радиус этого цилиндра. Поскольку основание призмы — прямоугольный треугольник, наибольшая окружность, описываемая вокруг него, будет иметь радиус, равный гипотенузе треугольника.

#### Вычисление гипотенузы

Гипотенуза \( c \) вычисляется по теореме Пифагора:

\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{11^2 + 9^2} = \sqrt{121 + 81} = \sqrt{202}
\]

### Шаг 5: Находим радиус окружности

Диаметр описанной окружности будет равен гипотенузе, следовательно, радиус \( R \) цилиндра равен:

\[
R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{202}}{2}
\]

### Шаг 6: Объем цилиндра

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[
V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h
\]

Подставляем значения:

\[
V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{\sqrt{202}}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{\pi}
\]

Упрощаем:

\[
= \pi \cdot \frac{202}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{202}{2} = 101
\]

### Заключение

Объем цилиндра, описанного около данной прямой призмы, равен 101. Это значение даёт понимание взаимосвязи между фигурами и их свойствами, что может быть полезно в различных областях, таких как архитектура, механика и дизайна.