Как решить: Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 2x² + 5х?

Для нахождения наименьшего значения цены р, при котором суммарная прибыль через 12 лет составит не менее 744 млн рублей, нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим каждое из них:

### 1. Определение годовой прибыли
Годовая прибыль (P) от продажи x тыс. единиц продукции обозначается как:
\[ P = px - q \]
где:
- \( p \) – цена за единицу продукции (в тыс. рублей),
- \( q \) – полные затраты на производство x тыс. единиц продукции.

### 2. Выражение затрат
Исходя из формулы затрат:
\[ q = 2x^2 + 5x + 10 \]
где 10 – это фиксированные затраты (в млн рублей).

### 3. Подстановка затрат в формулу прибыли
Подставляем q в формулу годовой прибыли:
\[ P = px - (2x^2 + 5x + 10) \]
Преобразуем это уравнение:
\[ P = px - 2x^2 - 5x - 10 \]
\[ P = (p - 5)x - 2x^2 - 10 \]

### 4. Условие суммарной прибыли
Теперь нам нужно определиться с условием для 12 лет: суммарная прибыль за 12 лет (S) должна составлять не менее 744 млн рублей, то есть:
\[ S = 12P \geq 744 \]
Следовательно:
\[ P \geq \frac{744}{12} = 62 \]

### 5. Неравенство для прибыли
Теперь подставим условие для годовой прибыли:
\[ (p - 5)x - 2x^2 - 10 \geq 62 \]
Упрощаем это неравенство:
\[ (p - 5)x - 2x^2 \geq 72 \]
Мы можем записать это как:
\[ -2x^2 + (p - 5)x - 72 \geq 0 \]

### 6. Квадратное уравнение
Это неравенство представляет собой квадратичную функцию относительно x:
\[ -2x^2 + (p - 5)x - 72 = 0 \]
Чтобы такая функция имела решения (чтобы была прибыль), ее дискриминант (D) должен быть не менее нуля:
\[ D = (p - 5)^2 - 4(-2)(-72) \geq 0 \]
Соответственно:
\[ D = (p - 5)^2 - 576 \geq 0 \]

### 7. Решение неравенства для дискриминанта
Решим это неравенство:
\[ (p - 5)^2 \geq 576 \]
Мы извлекаем корень:
\[ |p - 5| \geq 24 \]
Это приводит к двум неравенствам:
1. \( p - 5 \geq 24 \) => \( p \geq 29 \)
2. \( p - 5 \leq -24 \) => \( p \leq -19 \)

Однако цена p не может быть отрицательной, следовательно, остается только:
\[ p \geq 29 \]

### 8. Ответ
Наименьшее значение для цены p, при котором суммарная прибыль через 12 лет составит не менее 744 млн рублей, равно 29 тыс. рублей за единицу продукции.

### Дополнительные замечания
- Это условие не учитывает изменения в спросе или другие экономические факторы, которые могут повлиять на цену.
- Расчет также предполагает, что производственные затраты не изменяются на протяжении 12 лет.
- При анализе таких задач важно учитывать рыночные условия, маркетинговую стратегию и конкурентоспособность.

Таким образом, основное значение в данной задаче имеет соотношение между ценой и затратами, что напрямую влияет на прибыль предприятия.