Как найти косинус угла м/у векторами АВ и АС, если координаты точек даны?

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) для данных точек, выполните следующие шаги:

### Шаг 1: Определите координаты векторов

Начните с нахождения координат векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \).

1. **Вектор \( \overrightarrow{AB} \)**:
   \[
   \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, 0 - 5, 0 - (-2)) = (1, -5, 2)
   \]

2. **Вектор \( \overrightarrow{AC} \)**:
   \[
   \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1, 0 - 5, -4 - (-2)) = (2, -5, -2)
   \]

Теперь у нас есть два вектора:
- \( \overrightarrow{AB} = (1, -5, 2) \)
- \( \overrightarrow{AC} = (2, -5, -2) \)

### Шаг 2: Используйте формулу косинуса угла между векторами

Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}
\]

Где:
- \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \) — скалярное произведение векторов.
- \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \) — длины этих векторов.

### Шаг 3: Найдите скалярное произведение векторов

Теперь вычислим скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot 2 + (-5) \cdot (-5) + 2 \cdot (-2)
\]
\[
= 2 + 25 - 4 = 23
\]

### Шаг 4: Найдите длины векторов

Теперь найдём длины векторов \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \):

1. **Длина \( \overrightarrow{AB} \)**:
   \[
   |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}
   \]

2. **Длина \( \overrightarrow{AC} \)**:
   \[
   |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33}
   \]

### Шаг 5: Подставьте значения в формулу для косинуса

Вставим найденные значения в формулу для косинуса:
\[
\cos(\theta) = \frac{23}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{33}}
\]

### Шаг 6: Вычислите результат

Теперь можно получить численное значение:
\[
\sqrt{30} \approx 5.477 \text{ и } \sqrt{33} \approx 5.745
\]
\[
\cos(\theta) \approx \frac{23}{5.477 \cdot 5.745} \approx \frac{23}{31.415} \approx 0.732
\]

### Ответ

Косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) равен примерно \( 0.732 \). 

### Заключение

Знание о косинусе угла между векторами полезно в геометрии, физике и других областях. Этот метод можно использовать для нахождения углов между любыми векторами, просто определив их координаты и следуя тем же шагам.