Как решить: Даны три различных натуральных числа такие, что второе?

Для решения задачи рассмотрим три различных натуральных числа, которые обозначим как \( a \), \( b \) и \( c \). По условиям задачи выполняются следующие равенства:

1. \( b = S(a) \), где \( S(n) \) — сумма цифр числа \( n \).
2. \( c = S(b) \).

Теперь проанализируем заданные вопросы по пунктам.

### а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?

Для нахождения условий, при которых сумма \( a + b + c = 420 \), подставим известные зависимости:

\[ 
a + S(a) + S(S(a)) = 420 
\]

Здесь мы знаем, что сумма цифр не может превышать 9 умноженное на количество цифр в числе. Поскольку \( a \) — натуральное число, и мы ищем его среди трёхзначных чисел, ограничимся числами от 100 до 999.

В трехзначном диапазоне максимальная сумма цифр \( S(a) \) равна 27 (для 999). Для \( S(b) \) оценим значение:

- При \( S(a) = 27 \), \( c = S(b) \). 
- Максимально \( b = 27 \) дает \( S(27) = 2 + 7 = 9 \).

Подставим максимальные значения, чтобы понять будет ли возможно достижение 420:

1. \( S(a) \) для трехзначного \( a \): максимум — 27.
2. Тогда максимум \( S(S(a)) \): максимум будет 9 для \( S(b) \).

Теперь посчитаем:

\[
a + 27 + 9 = 420
\]

Это автоматически приводит к тому, что \( a = 420 - 36 = 384 \) (подходит и является трёхзначным). Так что да, сумма может быть равна 420.

### б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?

Далее, рассмотрим сумму 419:

\[
a + S(a) + S(S(a)) = 419
\]

Поскольку мы выяснили, что максимум \( S(a) = 27 \), установим:

1. Максимальные значения: 
   - \( 27 + 9 \) дает максимум 36.
   
Если \( a \) — максимальное значение, которое дает минимальное значение суммы цифр:

\[
a + S(a) + S(S(a)) = 419 
\]

К примеру, для \( S(a) = 27 \) у нас будет:

\[
a + 27 + 9 = 419
\]

Подставляем:

\[
a + 36 = 419 \implies a = 383
\]

Это число также является трёхзначным. Таким образом, сумма также может достигать 419.

### в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число - трёхзначное, а последнее равно 5?

Рассуждая о данном вопросе, предположим:

- \( c = 5 \).
- Тогда \( S(b) = 5 \) дает следующие варианты \( b = 5, 14, 23, 32, 41, 50 \). Из них, чтобы поддержать условия,")]
нет подходящих \( b > 27 \) как максимал для \( S(a) \). То есть, \( S(b) = 5 \) дает нам минимальное число, которое может быть суммой цифр трехзначного.

Теперь ищем, чтобы \( a + b + 5 \) у нас тоже был валидным числом, моделируем \( a + S(a) + 5 \):

Ищем такие \( a \), которые будут удовлетворять условиям задачи по количеству цифр:

Рассматриваем различные варианты \( a \) и считаем, что \( S(a) \) может быть от 1 до 27. Подходящие числа, которые дают позитивный результат:

1. \( 100 \) (это 1)
2. \( 2 \) (это 2 в значении 0, что готовит к угрозе)

Нужно помнить, что каждое \( a \) поддерживает уникальные \( b \), которые приравнивают к 5.

#### Итог:
- Возможны проверки 84 варианта, но модели цифр приняты в 5. Можно дополнительно разбирать каждую из чисел для точности.

Это дает общее понимание, как выбрать конкретные наборы чисел \( a \), \( b \), и \( c \) для трёхзначной структуры, учитывая межсоотношения между числами, что приводит к нужным результаты.