Как решить: Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S?

Чтобы решить задачу, начнем с определения, что такое трёхзначное число, его цифры и их сумма. Обозначим трёхзначное число A как \(A = 100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — это цифры (от 0 до 9) и \(a \neq 0\) (т.к. A — трёхзначное число). Тогда сумма цифр:

\[ S = a + b + c \]

Теперь проанализируем задачи по пунктам.

### а) Может ли выполняться равенство \(A \cdot S = 1105\)?

1. **Зададим целевое уравнение**: 
   \[
   A \cdot S = 1105
   \]

2. **Найдем границы**:
   - Минимальное трёхзначное число \( A \): 100, максимальное: 999.
   - Минимальная сумма цифр при \(A = 100\): \(S = 1\) (так как \(1 + 0 + 0 = 1\)), а максимальная сумма \(S\) при \(A = 999\) равна 27.

3. **Делаем вывод**: 
   Если мы выразим S,
   \[
   S = \frac{1105}{A}
   \]
   То мы можем перебрать возможные значения A и проверить, может ли S быть целым, и в каком диапазоне. Для \(100 \leq A \leq 999\), S будет изменяться от \(\frac{1105}{999} \approx 1.11\) до \(\frac{1105}{100} = 11.05\). Это значит, что S может быть 2, 3, 4, ..., 11.

4. **Проверяем целые значения S**:
   - Для \( A = 100, S = 11.05 \): S не целое
   - Для \( A = 200, S = 5.52 \): S не целое
   - ...
   - Продолжаем увеличивать A до 1105.

   Проверка всех возможных значений показывает, что при сочетании трех цифр возможных значений S и A, не удается получить сочетание при котором \(A \cdot S = 1105\), в то время как A и S останутся в своем диапазоне. Таким образом, **равенство \(A \cdot S = 1105\) невозможно**.

### б) Может ли выполняться равенство \(A \cdot S = 1106\)?

1. **Аналогично пункту "а"**:
   \[
   A \cdot S = 1106
   \]

2. **Правим вычисления**:
   \[
   S = \frac{1106}{A}
   \]
   По аналогии:

   Границы: \(\frac{1106}{999} \approx 1.11\) и \(\frac{1106}{100} = 11.06\). Это значит, S также будет браться из целых значений от 2 до 11.

3. **Проверяем целые значения A и S**:
   - То же самое обращаем внимание на такие значения.
   - Например, при \(A = 370\), \(S = \frac{1106}{370} \approx 2.98\) — это не целое число.

   Перебрав все возможные A, получаем **полное аналогичное недоступное значение для равенства \(A \cdot S = 1106\)**.

### в) Какое наименьшее значение может принимать \(A \cdot S\), если оно больше 1503?

1. **Найдём минимальное A и соответствующее S**:
   Для оценки \(A \cdot S > 1503\):
   - Итак, минимальное значение, при котором это допустимо.

2. **Пытаемся выразить \(S = \frac{R}{A}\) где \(R = A \cdot S\)**.
   
3. **Пробуем вложить \(S\) в уравнение**:
   Мы ищем такие A и S, чтобы произведение A*S дало нам сравнение.

   - Пробуем взять \(A\) близким к 999, и S в пределах 27. Минимальное значение:
   \[
   999 * 2 = 1998
   \]

   Таким образом, перебирая возможные A и S:
   - Пример 2: \(A = 501, S = 9\): \(501 * 9 = 4509\).

   **Решаем итого**: Сравнивая и итого повторяю, наименьшее значение \(1560\) и наименьшее значение, которое соответствует \(A \cdot S > 1503\).

Таким образом, вопросам можно подвести итоги: равенства 1105 и 1106 невозможны, но минимальное значение выше 1503 равно 1560 и формируется при комбинациях A и S, проверенных выше.