Как решить: Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук?

Для решения этой задачи используем информацию о карточках и средних арифметических значениях. Давайте разберем это по пунктам.

### Исходные данные

1. **Общее количество карточек**: 50 (синих и красных).
2. **Среднее арифметическое чисел на карточках**: 16.
3. **Числа на синих карточках**: все разные, больше чисел на красных карточках.
4. **После увеличения чисел на синих карточках в 2 раза**: новое среднее арифметическое стало 31,2.

### Вычисления

1. **Общая сумма чисел на карточках**:
   \[
   S = 50 \times 16 = 800
   \]

2. **Обозначим**:
   - \( n_s \): количество синих карточек.
   - \( n_r \): количество красных карточек.
   - \( S_s \): сумма чисел на синих карточках.
   - \( S_r \): сумма чисел на красных карточках.
   
   Тогда:
   \[
   n_s + n_r = 50
   \]
   \[
   S_s + S_r = 800
   \]

3. **Среднее арифметическое на синих карточках до увеличения**:
   Ат! \( S_s / n_s = m_s \) (среднее на синих карточках)

4. **Среднее арифметическое на всех карточках после увеличения**:
   - Числа на синих карточках увеличиваются в 2 раза, следовательно:
   \[
   2 S_s + S_r = 31,2 \times 50 = 1560
   \]
   Подставим \( S_r = 800 - S_s \):
   \[
   2 S_s + (800 - S_s) = 1560
   \]
   Упростим это уравнение:
   \[
   2 S_s - S_s + 800 = 1560 \quad \Rightarrow \quad S_s + 800 = 1560 \quad \Rightarrow \quad S_s = 760
   \]

5. **Найдём сумму на красных карточках**:
   \[
   S_r = 800 - S_s = 800 - 760 = 40
   \]

### Ответы на вопросы

а) **Может ли быть 10 синих карточек?**
   \[
   n_s = 10 \implies S_s = 760 \implies m_s = \frac{760}{10} = 76
   \]
   Для красных карточек:
   \[
   n_r = 40 \implies S_r = 40 \implies m_r = \frac{40}{40} = 1
   \]
   Числа на синих карточках (76) больше, чем 1 (на красных), значит этот вариант возможен.

**Ответ**: Да, может быть 10 синих карточек.

б) **Может ли быть 10 красных карточек?**
   \[
   n_r = 10 \implies S_r = 40 \implies m_r = \frac{40}{10} = 4
   \]
   Обратим внимание, что количество синих карточек будет:
   \[
   n_s = 50 - 10 = 40 \implies S_s = 760 \implies m_s = \frac{760}{40} = 19
   \]
   Числа на синих карточках (19) больше, чем 4 (на красных), следовательно, это также возможно.

**Ответ**: Да, может быть 10 красных карточек.

в) **Какое наибольшее количество синих карточек может быть?**
   - Условия показывают, что если \( n_s \) увеличивается, то \( S_s \) должно быть достаточно большим, чтобы удовлетворять ограничению по среднему. Проведём расчеты:
   - Любое \( n_s \) приведет к увеличению огромного GM на синих, но так как \( S_r \) не может равняться 0 (на красных карточках должны быть натуральные числа), нельзя делать так, чтобы \( S_r < n_r \cdot 1 \). Это значит, что если \( S_s \) повышается, то максимальное допустимое:
   
   Если \( n_s = 49 \):
   \[
   S_s = 760; \quad S_r = 800 - S_s = 40; \quad \implies n_r = 1
   \]
   \( S_s/n_s \geq 16 \text{ и } S_r/n_r < 76. \) 

**Ответ**: Максимальное количество синих карточек может быть 49, но тогда одна красная карточка должна быть 40, что дает нам предельно допустимые значения.