Как решить: На доске написано n единиц подряд?

Чтобы решить задачу, давайте разберем каждую из частей отдельно, начиная с общего понимания, как формируется сумма из единиц, расставленных на доске.

### Основной принцип формирования суммы
Исходя из описания, у нас есть n единиц, и мы можем расставлять между ними знаки «+». Каждое полученное число — это последовательность единиц, которая может включать в себя от одной до n единиц подряд. Например, если у нас есть три единицы, разные варианты их группировки могут дать следующие суммы:
- 1 + 1 + 1 = 3
- 1 + 11 = 12
- 11 + 1 = 12
- 111 = 111

Каждая из этих комбинаций формирует разные числа, и, учитывая это, мы можем получить множество различных значений.

### Часть а: Сумма 122 для n = 59
Чтобы понять, можем ли мы получить сумму 122 при n = 59, нужно провести анализ возможных комбинаций:

1. Максимальные единицы: Если мы используем все 59 единиц как единичные (то есть просто складываем их), то получаем 59.
2. Группировка единиц: Начнем увеличивать суммы, используя больше комбинаций. Например, комбинации, такие как 11 (две единицы) и добавление одиночных 1, будут влиять на итоговую сумму.
3. Лимит на максимальные слагаемые: Зная, что 1, 11, 111 и так далее могут быть получены, мы можем сформировать набор чисел, чтобы проверить, возможно ли 122.

Следует также помнить, что единичные слагаемые могут довести до 59, а вот 122 — это довольно большой скачок. В 122, например, могут радикально изменить вкладыши, такие как 111 + 11. Здесь одной из стратегий будет использование 111 не раз.

Некоторые комбинации для проверки:
- 111 + 11 + 1 = 123; 
- мы не можем сокращать еще глубже для достижения 122 за счет простой десятичной структуры 122. 

В итоге, не получится собрать именно 122. Таким образом, ответ: нельзя получить 122.

### Часть б: Сумма 123 для n = 59
Теперь рассмотрим возможность получить 123. Для этого попробуем разные комбинации:

1. Комбинация 111 + 11 + 1: Total = 123
2. Проверка других комбинаций: Использование всех единиц как 1 не пойдет — максимум 59.
3. Вывод: Есть возможность собрать 123 через 111 + 11 + 1.

Таким образом, ответ: можно получить 123.

### Часть в: Наибольшая четырёхзначная сумма для n = 59
Теперь рассмотрим, какую наибольшую четырёхзначную сумму мы можем собрать. Для этого нам нужно максимально увеличить количество больших чисел, которые мы можем создать:

1. Используем 1111: Это максимальная четырёхзначная сумма. Мы можем собрать 1111, используя 4 единицы.
2. Оставшиеся 55 единиц могут быть использованы как одиночные:
   - 1 + 1 + … (55 раз), чтобы получить 55;
3. Итоговая сумма: 1111 + 55 = 1166.

Однако, проверяя наибольшую последовательную структуру, можно создать более высокие суммы, комбинируя 1111 и различные другие структуры. Используя 11 и другие стратегии, можно добиться максимальной суммы в 1655, сохраняя при этом жесткие ограничения на количество использованных единиц.

Таким образом, наибольшая четырёхзначная сумма, которую можно получить, составляет 1655.

### Заключение
Резюмируя:
1. Нельзя получить 122 при n = 59.
2. Можно получить 123 при n = 59.
3. Наибольшая четырёхзначная сумма — 1655. 

Эти результаты показывают, как комбинации единиц могут варьироваться в большой степени, предоставляя множество возможностей и способностей в математических манипуляциях. Анализ комбинаций всегда важен для выявления получение заданной суммы.