Как решить: На доске написано несколько различных натуральных чисел?

Чтобы рассмотреть проблему, связанную с натуральными числами, которые состоят только из цифр 1 и 6, нужно учитывать, что числа, написанные на доске, могут принимать различные формы: 1, 6, 11, 16, 61, 66 и т. д. Давайте по очереди разберем каждый вопрос.

### а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

1. **Определение чисел**: Числа, которые будут на доске, должны состоять только из 1 и 6. Такие числа имеют вид, например, 1, 6, 11, 16, 61, 66, 111 и т. д.

2. **Проверка на возможность**:
    - Данная задача предполагает, что нас интересует сумма различных таких чисел.
    - Расставим несколько чисел: пусть `n1` – количество единиц, а `n6` – количество шестерок. При этом, единицы и шестерки могут сочетаться, а их сумма должна равняться 173.

3. **Представление суммы**:
    - Мы можем представить число 173 в виде: \( a \cdot 1 + b \cdot 6 = 173 \) (где a и b - количество единиц и шестерок соответственно).

4. **Анализ уравнения**:
    - Перепишем уравнение как \( a + 6b = 173 \).
    - Из этого видно, что \( a = 173 - 6b \). Чтобы \( a \) было неотрицательным, \( b \) должно быть менее или равно \( \frac{173}{6} \approx 28.83 \), но \( b \) - это целое число, следовательно, максимальное значение b будет 28.

5. **Получение значения a**: Подставляя различные значения b от 0 до 28, мы ищем, является ли a целым и положительным. Количество таких пар (a, b) позволит узнать, как складывается сумма.

Вывод: **Сумма чисел, записанных на доске, равная 173, возможна.**

### б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

1. **Анализ уравнения**:
    - Снова используем предыдущий подход: \( a + 6b = 109 \).
    - Таким образом, \( a = 109 - 6b \). 

2. **Ограничения**:
    - Чтобы \( a \) было неотрицательным, \( 109 - 6b \geq 0 \) или \( b \leq \frac{109}{6} \approx 18.17 \).
    - Следовательно, максимальное целое значение для b – это 18.

3. **Перебор возможных значений**: Проверим возможные значения b от 0 до 18, вычисляя соответствующее значение a.

Вывод: **Сумма чисел, записанных на доске, равная 109, также возможна.**

### в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

1. **Стратегия решения**:
   - Мы ищем такие сочетания, чтобы сумма чисел на доске давала значение 1021, а количество этих чисел было минимальным.

2. **Максимизация шестерок**:
   - Поскольку шесть приносит больший вклад в сумму, начнем с максимального количества шестерок.
   - Если обозначить количество шестерок как \( b \), то имеем: \( a + 6b = 1021 \).
   - Мы можем решить это уравнение, минимизируя a (количество единиц).

3. **Вычисления**:
   - Начнем с поиска максимального значения b: \( 6b \leq 1021 \Rightarrow b \leq 170 \).
   - Возможные значения: \( 1021 - 6 \cdot 170 = 1 \).
   - В этом случае а = 1 и b = 170.

4. **Итоговое количество**:
   - Минимальное количество чисел: \( a + b = 1 + 170 = 171 \).

### Итог:
На доске могут находиться различные натуральные числа, и их суммирование возможно для всех предложенных значений. Единственное совершенно минимальное количество чисел при сумме 1021 равно 171, что можно достигнуть, используя 170 шестерок и одну единицу.