Как решить неравенство log(√3)⁡log(√5)⁡(х-log(3⁡)4)≤2?

Для решения неравенства \( \log(\sqrt{3}) \log(\sqrt{5}) (x - \log_3 4) \leq 2 \) следуем следующему пошаговому алгоритму.

### Шаг 1: Упрощение неравенства

Сначала, заметим, что \(\log(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \log(3)\) и \(\log(\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \log(5)\). Тогда произведение:

\[
\log(\sqrt{3}) \log(\sqrt{5}) = \frac{1}{4} \log(3) \log(5)
\]

Вместо этого подставим во неравенство:

\[
\frac{1}{4} \log(3) \log(5) (x - \log_3 4) \leq 2
\]

Умножим обе стороны на 4 (учитывая, что логарифм положителен, что будет справедливо при нормальных значениях):

\[
\log(3) \log(5) (x - \log_3 4) \leq 8
\]

### Шаг 2: Из нахождения границ

Переходим к неравенству:

\[
\log(3) \log(5)(x - \log_3 4) \leq 8
\]

Решим это неравенство относительно \(x\):

\[
x - \log_3 4 \leq \frac{8}{\log(3) \log(5)}
\]

Переносим \(\log_3 4\):

\[
x \leq \frac{8}{\log(3) \log(5)} + \log_3 4
\]

### Шаг 3: Подсчет \(\log_3 4\)

Теперь необходимо найти значение \(\log_3 4\):

\[
\log_3 4 = \frac{\log(4)}{\log(3)} = \frac{2\log(2)}{\log(3)}
\]

### Шаг 4: Обозначение значений

Для упрощения обозначим:

- \(A = \log(3)\)
- \(B = \log(5)\)

Тогда неравенство можно переписать так:

\[
x \leq \frac{8}{AB} + \frac{2\log(2)}{A}
\]

### Шаг 5: Обчисление границы

Теперь необходимо вычислить точное значение правой части:

1. Найдем значения \(A\) и \(B\). Примерные значения:
   - \(A = \log(3) \approx 0.4771\)
   - \(B = \log(5) \approx 0.6990\)
   
   Тогда \(AB \approx 0.333\).

2. Подставляем значения:

\[
\frac{8}{AB} \approx \frac{8}{0.333} \approx 24
\]

Следующим шагом возможно получение \(\log_3 4\):

\(\log_3 4 \approx 1.2619\).

Теперь подставляем и получаем:

\[
x \leq 24 + 1.2619 \approx 25.2619
\]

### Шаг 6: Получение целых значений 

Теперь мы имеем значение, что:

\[
x \leq 25
\]

Также необходимо учитывать, что \(x\) должно быть целым: \( x \in \mathbb{Z} \) и \(x\) должно быть меньше 25. Это значит, что возможные целые значения \(x\) будут от \(-\infty\) до \(25\).

### Результат 

Все целые значения \(x\), удовлетворяющие неравенству:

\[
x \in (-\infty, 25]
\]

Более подробно: целые числа 0, 1, 2, ..., 25 удовлетворяют неравенству, так как мы не ограничены снизу, а только сверху.

### Заключение

Чтобы резюмировать, для неравенства \( \log(\sqrt{3}) \log(\sqrt{5}) (x - \log_3 4) \leq 2 \) целыми значениями \(x\) будут:

\[
x = 0, 1, 2, \ldots, 25
\]

Это конечный список возможных целых значений \(x\).