Как найти угол между векторами на координатной плоскости?

Чтобы найти угол между двумя векторами на координатной плоскости, следуйте этому пошаговому руководству.

### Шаг 1: Понимание векторов
Векторы можно представить как стрелки на плоскости, которые имеют направление и величину. Вектор обычно обозначается как \( \mathbf{a} = (x_1, y_1) \) и \( \mathbf{b} = (x_2, y_2) \). Здесь \( x_1 \) и \( y_1 \) - это компоненты первого вектора, а \( x_2 \) и \( y_2 \) - второго вектора.

### Шаг 2: Определение угла
Угол \( \theta \) между двумя векторами можно вычислить с использованием скалярного произведения. Формула следующая:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]

где:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) - скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) - их длины.

### Шаг 3: Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов вычисляется так:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
\]

### Шаг 4: Вычисление длины векторов
Длина (модуль) вектора вычисляется по формуле:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \quad |\mathbf{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}
\]

### Шаг 5: Подстановка значений
Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла. После того, как вы нашли \( \cos(\theta) \), используйте арккосинус, чтобы получить угол \( \theta \):

\[
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \right)
\]

### Шаг 6: Преобразование в градусы
Угол \( \theta \) в результате будет в радианах. Чтобы преобразовать его в градусы, воспользуйтесь формулой:

\[
\theta_{\text{градусы}} = \theta_{\text{радианы}} \cdot \left( \frac{180}{\pi} \right)
\]

### Пример
Предположим, у нас есть два вектора: 
- \( \mathbf{a} = (2, 3) \)
- \( \mathbf{b} = (5, 7) \)

1. Рассчитаем скалярное произведение:
   \[
   \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 10 + 21 = 31
   \]

2. Найдем длины векторов:
   \[
   |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
   \]
   \[
   |\mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}
   \]

3. Подставим в формулу косинуса угла:
   \[
   \cos(\theta) = \frac{31}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{74}}
   \]

4. После нахождения значения, используем арккосинус:
   \[
   \theta = \cos^{-1}(значение)
   \]

5. Преобразуем в градусы.

### Заключение
Процесс нахождения угла между векторами требует расчетов, но он базируется на простых геометрических принципах. Правильное понимание и применение этих шагов позволит вам находить угол между любыми векторами на плоскости. Удачи в его вычислении!