Как решить: Сторона основания прав. четырехугольной пирамиды равна √(15/π)?

Для решения задачи о нахождении площади полной поверхности шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду с известными параметрами, следуем следующим шагам:

1. **Определим параметры пирамиды**:
   - Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды \( a = \sqrt{\frac{15}{\pi}} \).
   - Угол при основании (двугранный угол) \( \alpha = 60^\circ \).

2. **Находим высоту пирамиды**:
   Чтобы найти высоту пирамиды \( h \), используем формулу для двугранного угла:
   \[
   \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{\frac{a}{2}},
   \]
   где \( R \) - радиус вписанной сферы, а \( a/2 \) - расстояние от центра основания до его стороны.

   Сначала определяем значение
   \[
   \tan\left(30^\circ\right) = \frac{R}{\frac{a}{2}} = \frac{R}{\frac{\sqrt{\frac{15}{\pi}}}{2}} = \frac{2R}{\sqrt{\frac{15}{\pi}}}.
   \]

   Из этого уравнения следует, что:
   \[
   R = \frac{\sqrt{\frac{15}{\pi}}}{2} \cdot \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{\frac{15}{\pi}}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\frac{15}{3\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2}.
   \]

   Теперь необходимо найти высоту \( h \) через радиус: 
   \[
   h = R \cdot \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{\frac{15}{\pi}}}{2}.
   \]

3. **Найдем радиус вписанного шара**:
   Теперь у нас есть радиус шара \( R = \frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2} \). Площадь полной поверхности шара вычисляется по формуле:
   \[
   S = 4 \pi R^2.
   \]

   Подставляем значение \( R \):
   \[
   S = 4 \pi \left(\frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \frac{5}{4\pi} = 5.
   \]

4. **Окончательный результат**:
   Мы нашли площадь полной поверхности шара, вписанного в пирамиду:
   \[
   S = 5.
   \]

Таким образом, ответ на задачу: площадь полной поверхности шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания \( \sqrt{\frac{15}{\pi}} \) и двугранным углом 60°, равна \( 5 \). 

Эта процедура обобщает подход, позволяя лучше понять взаимосвязь параметров и применения формул в геометрии. Подобные задачи требуют четкого понимания, как соотносятся высоты, радиусы и параметры фигур, что также является важным аспектом при подготовке к экзамену.