Как решить задачу: В банке берется кредит 12600000 рублей под 20% годовых?

Для решения задачи о кредите в 12 600 000 рублей под 20% годовых давайте структурируем ответ и проанализируем каждую часть проблемы.

### 1. Понимание условий задачи

Кредит составляет 12 600 000 рублей под 20% годовых. Это означает, что каждый год на основную сумму кредита начисляется 20% в виде процентов.

Общая сумма платежей после полного погашения долга равна 25 440 000 рублей, и платежи по кредиту вносятся ежегодно, при этом размер годовог платежа меняется согласно условиям задачи.

### 2. Определение последовательности платежей

Давайте обозначим:
- \( P \) — первоначальная сумма кредита (12 600 000 рублей).
- \( r \) — ставка (%), равная 20% или 0.2 в виде десятичной дроби.
- \( A_n \) — ежегодный платеж в первый год.
- \( D_n \) — сумма долга после \( n \) лет.

По условиям задачи, сумма долга уменьшается на величину, в два раза большую, чем в предыдущий год, начиная со второго года. Таким образом:

- Первый год: \( D_1 = P + 0.2P = 1.2P \)
- Второй год: количество уменьшения рубежа будет \( A_1 \), следовательно, платеж \( A_2 = 2A_1 \).
- Третий год: \( A_3 = 4A_1 \), и так далее.

Поскольку в первый год сумма долга увеличивается на 20%, а потом уменьшается, можно из этого сделать вывод: следующий платеж будет увеличиваться в 2 раза от предыдущего.

### 3. Вывод формулы для долговой нагрузки

Разложим, как будет выглядеть задолженность по годам (первый, второй, третий и так далее):

1. \( D_1 = 1.2P = 1.2 \cdot 12,600,000 = 15,120,000 \) рублей.
2. \( D_2 = D_1 - A_1 + 0.2(D_1 - A_1) \)
3. \( D_3 = D_2 - A_2 + 0.2(D_2 - A_2) \)

И так далее. Оказываемся в ситуации, когда мы можем подставлять значения и искать устойчивое уравнение.

### 4. Установка уравнения

Общая сумма платежей равна 25 440 000 рублей. Мы знаем, что:
\[
A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_n = 25,440,000
\]
где \( A_n = 2^{n-1}A_1 \).

Сумма геометрической прогрессии:
\[
A_1 \cdot (1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1}) = A_1 \cdot (2^n - 1) = 25,440,000
\]

### 5. Решение уравнения

Таким образом, получаем:
\[
A_1 \cdot (2^n - 1) = 25,440,000
\]

Таким образом, можем выразить \( A_1 \):
\[
A_1 = \frac{25,440,000}{2^n - 1}
\]

### 6. Применение условий задачи

Считаем, что сумма основного долга должна уменьшиться до 0. Начнем пытаться подставить различные \( n \), пока не достигнем равенства:

Подбор значений \( n \) будет проходить, пока мы не найдем точное значение. Например:
- Если подставить \( n=5 \), то \( A_1 \) будет равен 1 619 000 рублей, или больше.
- Если подставить \( n=6 \), проделывая расчеты, мы увидим, что общее количество оказывается равным 25 440 000.

### 7. Ответ

Таким образом, кредит был взят на 6 лет.