Как решить: Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз...?

Чтобы решить задачу о сравнении вероятностей выпадения ровно 4 орлов и ровно 3 орлов при 10 бросках симметричной монеты, нам нужно воспользоваться формулой биномиального распределения. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

### Шаг 1: Понимание задачи

Симметричная монета имеет равные шансы на выпадение орла и решки, то есть \( p = 0.5 \) для орла и \( q = 0.5 \) для решки. Мы бросаем монету 10 раз. Нам нужно найти вероятность получения ровно 4 орлов и ровно 3 орлов, а затем сравнить эти вероятности.

### Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность получения \( k \) успехов (в нашем случае — орлов) в \( n \) испытаниях вычисляется по формуле:

\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

- \( n! \) — факториал числа \( n \).
- \( p \) и \( q \) — вероятность успеха и неуспеха соответственно.

### Шаг 3: Расчет вероятностей

#### 1. Вероятность выпадения ровно 4 орлов:

Для \( n = 10 \) и \( k = 4 \):

\[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot \left(0.5\right)^4 \cdot \left(0.5\right)^{10-4}
\]

Рассчитаем биномиальный коэффициент:

\[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
\]

Следовательно, 

\[
P(X = 4) = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = 0.205078125
\]

#### 2. Вероятность выпадения ровно 3 орлов:

Для \( n = 10 \) и \( k = 3 \):

\[
P(X = 3) = C(10, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{10-3}
\]

Рассчитаем биномиальный коэффициент:

\[
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
\]

Следовательно,

\[
P(X = 3) = 120 \cdot (0.5)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = 0.1171875
\]

### Шаг 4: Сравнение вероятностей

Теперь, чтобы найти, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла», мы составим отношение:

\[
\frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} = \frac{0.205078125}{0.1171875} \approx 1.748.
\]

### Шаг 5: Ответ

Таким образом, вероятность получения ровно 4 орлов примерно в **1.75** раза больше вероятности получения ровно 3 орлов при 10 бросках симметричной монеты. 

### Заключение

Этот подход не только позволяет вычислять конкретные вероятности, но и углубляет наше понимание биномиального распределения и его применимости в реальных ситуациях. Вероятностные задачи часто встречаются в жизни, и умение с ними работать открывает новые горизонты в анализе данных и принятии решений.