Как решить: Площадь полной поверхности конуса равна 66?

Чтобы решить задачу о нахождении площади полной поверхности отсеченного конуса, начнём с анализа исходной информации и формул, связанных с конусом.

### Шаг 1: Формулы полной поверхности конуса
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности. Формула для расчета площади полной поверхности конуса выглядит так:

\[
S = S_{основания} + S_{боковая}
\]

Где:
- \(S_{основания} = \pi r^2\) - площадь основания.
- \(S_{боковая} = \pi r l\) - площадь боковой поверхности, где \(l\) - образующая конуса.

Следовательно, полная площадь поверхности конуса:

\[
S = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)
\]

### Шаг 2: Используя известную площадь
У нас есть информация, что площадь полной поверхности конуса равна 66:

\[
\pi r (r + l) = 66
\]

### Шаг 3: Определение размеров отсеченного конуса
Параллельное основанию сечение делит высоту конуса пополам. Это означает, что полученный отсеченный конус будет схож со стандартным конусом, и его размеры масштабируются:

- Высота отсеченного конуса составит половину исходной высоты.
- Радиус основания также уменьшится в два раза.

### Шаг 4: Площадь полной поверхности отсеченного конуса
Для отсеченного конуса мы можем воспользоваться тем же подходом.

Обозначим новые размеры:
- Новый радиус основания \(r' = \frac{r}{2}\).
- Образующая \(l'\) нового конуса будет также proportional, следовательно:

\[
l' = \frac{l}{2}
\]

Теперь подставим новые значения в формулу для полной поверхности:

\[
S' = \pi (r')^2 + \pi r' l' = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{r}{2}\right) \left(\frac{l}{2}\right)
\]

### Шаг 5: Упрощаем
Преобразуем значения:

\[
S' = \pi \frac{r^2}{4} + \pi \frac{rl}{4} = \frac{\pi}{4}(r^2 + rl)
\]

### Шаг 6: Выражение через исходную площадь
Заметим, что \(S = \pi r (r + l)\), и следовательно:

\[
r^2 + rl = \frac{S}{\pi}
\]

### Шаг 7: Подставляем в площадь отсеченного конуса
Теперь мы можем выразить площадь полной поверхности отсеченного конуса:

\[
S' = \frac{1}{4} \cdot \frac{S}{\pi} \cdot \pi = \frac{S}{4} = \frac{66}{4} = 16.5
\]

### Шаг 8: Заключение
Таким образом, площадь полной поверхности отсеченного конуса составляет:

\[
\boxed{16.5}
\]

Таким образом, следуя поэтапно, мы пришли к ответу, который позволяет легко динамически находить площадь полной поверхности таких геометрических фигур, как конусы, и их отсеченных частей, что может быть полезно в ряде приложений — от архитектуры до промышленного дизайна, где форма и объем играют важную роль.