Как решить: Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25?

Чтобы решить задачу о площади полной поверхности цилиндра, в который вписан шар, начнем с информации, что площадь поверхности шара равна 25. 

### Шаг 1: Определение радиуса шара

Площадь поверхности шара определяется формулой:

\[ S = 4\pi r^2 \]

где \( S \) – площадь поверхности, а \( r \) – радиус шара. У нас есть:

\[ 4\pi r^2 = 25 \]

Теперь выразим радиус шара:

\[ r^2 = \frac{25}{4\pi} \]

\[ r = \sqrt{\frac{25}{4\pi}} = \frac{5}{2\sqrt{\pi}} \]

### Шаг 2: Определение размеров цилиндра

Когда шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара. Таким образом:

- Радиус основания цилиндра, \( R \), равен радиусу шара, \( r \):

\[ R = r = \frac{5}{2\sqrt{\pi}} \]

- Высота цилиндра, \( H \), равна двум радиусам шара (так как высота равна диаметру):

\[ H = 2r = 2 \cdot \frac{5}{2\sqrt{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \]

### Шаг 3: Площадь полной поверхности цилиндра

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра по следующей формуле:

\[ S_{ц} = 2\pi R^2 + 2\pi RH \]

где:
- \( S_{ц} \) – площадь полной поверхности цилиндра,
- \( R \) – радиус основания цилиндра,
- \( H \) – высота цилиндра.

Подставляем известные значения:

1. **Вычислим \( R^2 \)**:

\[ R^2 = \left(\frac{5}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{25}{4\pi} \]

2. **Вычислим \( 2\pi R^2 \)**:

\[ 2\pi R^2 = 2\pi \cdot \frac{25}{4\pi} = \frac{25}{2} \]

3. **Вычислим \( RH \)**:

\[ RH = R \cdot H = \left(\frac{5}{2\sqrt{\pi}}\right) \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{\pi}}\right) = \frac{25}{2\pi} \]

4. **Вычислим \( 2\pi RH \)**:

\[ 2\pi RH = 2\pi \cdot \frac{25}{2\pi} = 25 \]

Теперь суммируем обе части, чтобы получить полную площадь поверхности цилиндра:

\[ S_{ц} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = \frac{25}{2} + 25 = \frac{25 + 50}{2} = \frac{75}{2} \]

### Ответ

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра равна:

\[ S_{ц} = \frac{75}{2} \]

или в десятичном формате:

\[ S_{ц} = 37.5 \]

### Заключение

Таким образом, мы нашли площадь полной поверхности цилиндра, в который вписан шар, благодаря последовательному применению формул и правильному вычислению радиуса и высоты. Задача не только демонстрирует связь между геометрическими фигурами, но и наглядно иллюстрирует, как одно значение может привести к множеству других через использование формул. В этом решении мы подробно рассмотрели шаги и обоснования, что позволяет глубже понять природу данной геометрической задачи.