Как решить: Площадь основания конуса равна 56?

Для решения задачи, потребуется рассмотреть свойства конуса и использование пропорциональности между площадями сечений, которые образуются плоскостями, параллельными основанию конуса.

### Шаг 1: Параметры конуса
У нас имеется конус с известной площадью основания. Площадь основания конуса равна 56. Зная, что основание конуса имеет форму круга, можем определить радиус основания по формуле для площади круга:
\[
S = \pi r^2,
\]
где \(S\) — площадь круга, \(r\) — радиус.

Таким образом, мы можем записать:
\[
\pi r^2 = 56.
\]
Решая это уравнение, находим радиус:
\[
r^2 = \frac{56}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{56}{\pi}}.
\]

### Шаг 2: Расположение сечения
Теперь нужно разобраться с высотой конуса. Высота делится на два отрезка — 4 и 12, что дает общую высоту:
\[
H = 4 + 12 = 16.
\]

### Шаг 3: Пропорциональность
Секущая плоскость делит высоту на отрезки, и давайте обозначим высоту выше сечения как \(h_1\) (т.е. \(h_1 = 4\)) и высоту ниже сечения как \(h_2\) (т.е. \(h_2 = 12\)).

Из теоремы, касающейся подобных фигур, для конусов, действующих в пирамидах, у нас имеется следующее отношение между площадями сечений и высотой, в которой они находятся. Площадь сечения \(S'\) конуса пропорциональна квадрату соотношения высот:
\[
\frac{S'}{S} = \left(\frac{H - h_1}{H}\right)^2,
\]
где \(S\) — площадь основания. Подставим известные нам значения:
\[
H = 16, \quad h_1 = 4, \quad S = 56.
\]

### Шаг 4: Подстановка значений
Подставим значения в формулу:
\[
\frac{S'}{56} = \left(\frac{16 - 4}{16}\right)^2 = \left(\frac{12}{16}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}.
\]

### Шаг 5: Нахождение площади сечения
Умножим обе стороны уравнения на 56, чтобы найти искомую площадь сечения \(S'\):
\[
S' = 56 \cdot \frac{9}{16} = \frac{504}{16} = 31.5.
\]

### Результат
Таким образом, площадь сечения, образованного плоскостью, параллельной основанию конуса и расположенной на высоте 4 от вершины, составляет 31.5.

### Заключение
Подводя итог, мы заключаем, что при работе с геометрическими фигурами, такими как конус, важно учитывать их пропорциональные свойства. Понимание этих принципов позволяет нам легко находить площади сечений, высоты и другие характеристики, что является полезным в различных областях, включая архитектуру, инженерию и искусство.