Как решить: Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15?

Чтобы решить задачу с объемами двух цилиндров, нам нужно сначала разобраться с основными формулами и данными. Давайте поэтапно разберемся, как мы можем найти объем второго цилиндра.

### Этап 1: Формула объема цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[
V = \pi r^2 h
\]

где:
- \( V \) — объем цилиндра;
- \( r \) — радиус основания цилиндра;
- \( h \) — высота цилиндра;
- \( \pi \) — математическая константа, приблизительно равная 3.14.

### Этап 2: Данные для первого цилиндра

В нашем случае, объём первого цилиндра равен 15:

\[
V_1 = 15
\]

Запишем данные первого цилиндра как:

- Радиус основания: \( r_1 \)
- Высота: \( h_1 \)

Тогда для первого цилиндра мы получаем:

\[
15 = \pi r_1^2 h_1
\]

### Этап 3: Данные для второго цилиндра

Теперь у нас есть два ключевых условия для второго цилиндра:

- Высота второго цилиндра в 5 раз меньше высоты первого:

\[
h_2 = \frac{h_1}{5}
\]

- Радиус основания второго цилиндра в 2 раза больше радиуса первого:

\[
r_2 = 2r_1
\]

### Этап 4: Объем второго цилиндра

Теперь можем записать формулу для объема второго цилиндра:

\[
V_2 = \pi r_2^2 h_2
\]

Подставим значения для \( r_2 \) и \( h_2 \):

\[
V_2 = \pi (2r_1)^2 \left(\frac{h_1}{5}\right)
\]

### Этап 5: Упрощение выражения

Раскроем скобки и упростим:

\[
V_2 = \pi (4r_1^2) \left(\frac{h_1}{5}\right)
\]

\[
V_2 = \frac{4\pi r_1^2 h_1}{5}
\]

### Этап 6: Сравнение с первым цилиндром

Мы знаем, что \( \pi r_1^2 h_1 = 15 \). Подставим это значение в формулу для \( V_2 \):

\[
V_2 = \frac{4 \cdot 15}{5}
\]

### Этап 7: Вычисление объема второго цилиндра

Теперь посчитаем:

\[
V_2 = \frac{60}{5} = 12
\]

Таким образом, объем второго цилиндра равен 12.

### Вывод

1. **Объем первого цилиндра**: 15.
2. **Различия из условия**: высота второго цилиндра меньше в 5 раз, радиус — больше в 2 раза.
3. **Объем второго цилиндра**: 12.

Эти вычисления демонстрируют, как малые изменения в размерах (высоте и радиусе) могут значительно повлиять на итоговый объем. К примеру, если бы высота была в 2 раза меньше вместо 5, объем второго цилиндра можно было бы ожидать гораздо меньший. Таким образом, важность понимания взаимосвязей между геометрическими параметрами очевидна.