Как решить: За круглый стол на 9 стульев садятся 7 мальчиков и 2 девочки?

Чтобы найти вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом за круглым столом, на который садятся 7 мальчиков и 2 девочки, следует пройти несколько шагов. На каждом этапе мы будем описывать процесс более подробно, чтобы лучше понять суть задачи.

### Шаг 1: Общее количество способов рассадки

Начнем с того, как именно мы можем рассадить всех за столом. В случае круглого стола стоит учитывать симметрию: одно из мест будет фиксированным, чтобы избежать учета одинаковых расстановок, полученных за счет вращения столов.

1. **Фиксируем одно место:** Пусть на одном стуле будет сидеть один из мальчиков. Теперь у нас есть 8 мест, которые нужно занять.
2. **Количество способов для рассадки:** Остальные 6 мальчиков и 2 девочки могут занять оставшиеся 8 мест. Мы можем расположить 8 человек на 8 местах 8! способами.
   
   \[
   8! = 40320
   \]

### Шаг 2: Количество способов, при которых девочки сидят рядом

Теперь мы рассмотрим случай, когда девочки сидят рядом. Этот сценарий будет оформлен как один "блок", состоящий из двух девочек.

1. **Создаем блок:** Рассматриваем девочек как один элемент (блок), тогда у нас остается 6 мальчиков и 1 блок девочек (всего 7 "элементов").
2. **Фиксируем одно место:** Также фиксируем одно место для мальчика, и тем самым имеем 6 мест, которые мы можем заполнить 6 элементами.
3. **Количество способов для рассадки:** 7 элементов можно разместить на 7 местах 7! способами.

   \[
   7! = 5040
   \]

4. **Расстановка девочек внутри блока:** Девочек в блоке можно расположить между собой 2! способами.

   \[
   2! = 2
   \]

5. **Общее количество способов, когда девочки сидят рядом:** 

   \[
   7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080
   \]

### Шаг 3: Количество способов, когда девочки не сидят рядом

Теперь найдем количество способов, при которых девочки не сидят рядом. Для этого мы просто вычтем количество способов, когда девочки сидят рядом, из общего числа способов рассадки.

\[
\text{Способы, где девочки не рядом} = 8! - (7! \times 2!) = 40320 - 10080 = 30240
\]

### Шаг 4: Вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом

Итак, вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, можно найти по формуле:

\[
P(\text{девочки не рядом}) = \frac{\text{Способы, где девочки не рядом}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{30240}{40320}
\]

### Шаг 5: Упрощение этой дроби

Упрощаем дробь:

\[
P(\text{девочки не рядом}) = \frac{30240 \div 10080}{40320 \div 10080} = \frac{3}{4}
\]

Таким образом, вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом за круглым столом из 9 стульев, составляет \( \frac{3}{4} \). 

### Заключение

Мы рассмотрели последовательный алгоритм для решения задачи, в котором учли общее количество способов размещения, специальные случаи и вычитание. Данная задача хорошо иллюстрирует, как можно подойти к решению комбинаторных задач, используя принцип включения-исключения. Не забудьте, что в вероятностных задачах всегда важно учитывать все возможные сценарии.