Как научиться строить график функции с модулем аргумента |x|?

### Построение графика функции y = x|x| + |x| - 4x

#### Шаг 1: Анализ функции

Функция, которую мы рассматриваем, является составной. Первое, что нужно сделать, — это расправиться с модулями. Мы можем разбить нашу функцию на два случая — для положительного и отрицательного x.

1. **Для x ≥ 0:**
   
   Здесь, |x| = x. Подставим это в нашу функцию:
   \[
   y = x \cdot x + x - 4x = x^2 + x - 4x = x^2 - 3x.
   \]

2. **Для x < 0:**
   
   Здесь |x| = -x. Подставим это в нашу функцию:
   \[
   y = x \cdot (-x) + (-x) - 4x = -x^2 - x - 4x = -x^2 - 5x.
   \]

Теперь мы получили два разных выражения для функции:

\[
y = 
\begin{cases} 
x^2 - 3x, & x \geq 0 \\ 
-x^2 - 5x, & x < 0 
\end{cases}
\]

#### Шаг 2: Нахождение точек экстремума

Для того чтобы понять, где функция меняет направление, найдем производные каждого из двух случаев.

1. **Для x ≥ 0:**
   \[
   y' = 2x - 3.
   \]
   Приравняем производную к нулю для поиска экстремума:
   \[
   2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5.
   \]
   Проверим, меняет ли направление функция:
   - Для x < 1.5, y' < 0 (убывает).
   - Для x > 1.5, y' > 0 (возрастает).
   Таким образом, точка x = 1.5 — минимум.

2. **Для x < 0:**
   \[
   y' = -2x - 5.
   \]
   Приравняем производную к нулю:
   \[
   -2x - 5 = 0 \Rightarrow x = -2.5.
   \]
   Проверяем направление:
   - Для x < -2.5, y' > 0 (возрастает).
   - Для x > -2.5, y' < 0 (убывает).
   То есть, x = -2.5 — максимум.

#### Шаг 3: Построение графика функции

1. **Найдите ключевые точки:**
   - Для x = 0: \( y(0) = 0 \).
   - Для x = 1.5: \( y(1.5) = 1.5^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 \) (минимум).
   - Для x = -2.5: \( y(-2.5) = -(-2.5)^2 - 5 \cdot (-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25 \) (максимум).

2. **Постройте график:**
   - На отрезке x < 0 — парабола (отрицательная).
   - На отрезке x ≥ 0 — парабола (положительная).

#### Шаг 4: Определение значений b

Теперь мы ищем значения b, при которых прямая y = b пересекает график функции в трех точках. Это возможно, если прямая будет:
1. Пересекать график функции в двух точках на одном из участков.
2. Пересекать график функции в одной точке на другой.

**График:** 
- Прямой y = b должен проходить ниже максимума (6.25) и выше минимума (-2.25). Таким образом, b ∈ (-2.25, 6.25).

Можно проверить, какие значения b дают ровно три точки пересечения, например:
- b = 0: пересечение в трех точках.

### Выводы

1. График состоит из двух парабол, исток в (0,0).
2. Существенные точки: минимум и максимум.
3. Значения b для трех пересечений: диапазон (-2.25, 6.25).

Такой алгоритм позволяет понять последовательность шагов для графического построения и анализа функции с модулями.