Как решить: Вадим является владельцем двух заводов в разных городах?

Чтобы решить задачу о максимальном количестве единиц товара, которые Вадим может произвести на двух заводах, необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов:

### 1. Определение условий задачи

- **Первый завод**: Рабочий получает 200 рублей за час.
- **Второй завод**: Рабочий получает 300 рублей за час.
- **Бюджет на оплату труда**: 1 200 000 рублей в неделю.
- **Производительность**: За каждые 2 часа работы на заводе, они производят 1 единицу товара.

### 2. Расчет времени работы на заводах

**Первый завод**:
- Оплата труда: 200 рублей в час.
- Количество рабочих часов: \( x \).
- Расходы на оплату труда: \( 200x \) рублей. 

**Второй завод**:
- Оплата труда: 300 рублей в час.
- Количество рабочих часов: \( y \).
- Расходы на оплату труда: \( 300y \) рублей.

### 3. Уравнение для бюджета

Сумма расходов на оба завода не должна превышать 1 200 000 рублей:
\[
200x + 300y \leq 1,200,000
\]

### 4. Производительность в зависимости от рабочих часов

На первом заводе за \( x \) часов будет произведено:
\[
\text{Производство на первом заводе} = \frac{x}{2}
\]

На втором заводе за \( y \) часов будет произведено:
\[
\text{Производство на втором заводе} = \frac{y}{2}
\]

Общее количество производимого товара:
\[
\text{Общее производство} = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{x + y}{2}
\]

### 5. Оптимизация производства

Чтобы максимизировать общее производство, наиболее выгодно привлечь больше рабочих на тот завод, где стоимость часа ниже (т.е. первый завод):
- Выразим \( y \) через \( x \):
\[
300y = 1,200,000 - 200x \implies y = \frac{1,200,000 - 200x}{300}
\]

Подставим \( y \) в уравнение для общего производства:
\[
\text{Общее производство} = \frac{x + \frac{1,200,000 - 200x}{300}}{2}
\]
Упрощая, получаем:
\[
\text{Общее производство} = \frac{x + 4,000 - \frac{2}{3}x}{2}
\]
\[
= \frac{\frac{1}{3}x + 4,000}{2} = \frac{1}{6}x + 2,000
\]

### 6. Установка границ для переменных

Учитываем, что на рабочие часы не должно тратиться больше, чем выделенный бюджет:
1. \( x \geq 0 \)
2. \( y \geq 0 \)
3. \( 200x + 300(0) \leq 1,200,000 \)
   - Это приводит к \( x \leq 6,000 \).

При \( x = 6,000 \):
\[
y = 0 \implies \text{Общее производство} = \frac{6,000}{2} = 3,000
\]

### 7. Решение задачи

Если же мы выделим часть бюджета для второго завода, например, \( y = 4,000 \):
- Тогда \( 200x + 1,200,000 - 300 \times 4,000 = 0 \).
- Будет множество вариантов, но оптимальная стратегия заключается в том, чтобы максимально использовать первый завод с низкой стоимостью.

### 8. Заключение

Чтобы получить максимальное количество продукции, Вадим должен выделить весь бюджет на первый завод, производя 3,000 единиц товара, или же сбалансировать расходы между обоими заводами, оптимизируя рабочие часы, чтобы не выйти за пределы бюджета. Однако, при текущих ставках, увеличение бюджета на второй завод требует дополнительных затрат, что нецелесообразно. В итоге, наиболее оптимальным будет использовать первый завод по максимуму, что даст 3,000 единиц товара.