Как решить: Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара?

Чтобы найти объём шара, описанного вокруг цилиндра с заданным объёмом, следует придерживаться четкой последовательности действий. Мы знаем, что объём цилиндра \( V_c \) равен 114. Поскольку цилиндр описан вокруг шара, это значит, что шар касается всех сторон цилиндра. Рассмотрим шаги по решению задачи:

### Шаг 1: Формула для объёма цилиндра

Объём цилиндра вычисляется по формуле:
\[
V_c = S \cdot h
\]
где \( S \) — площадь основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра. Формулируем задачу так: для нахождения объёма шара нам нужно понять, как высота и радиус цилиндра соотносятся с радиусом шара.

### Шаг 2: Связь цилиндра и шара

Из геометрии известно, что если цилиндр описан около шара, то высота цилиндра равна его диаметру, а радиус основания равен радиусу шара. Обозначим радиус шара как \( R \). Таким образом, можно записать:
- Высота цилиндра \( h = 2R \)
- Радиус основания цилиндра \( r = R \)

### Шаг 3: Площадь основания цилиндра

Площадь основания цилиндра, используя радиус, будет:
\[
S = \pi r^2 = \pi R^2
\]

### Шаг 4: Подставляем в формулу объёма

Теперь подставим выражения для \( S \) и \( h \) в формулу объёма цилиндра:
\[
V_c = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3
\]

### Шаг 5: Задаём уравнение

Теперь мы можем сказать, что объём цилиндра равен 114:
\[
2\pi R^3 = 114
\]

### Шаг 6: Решаем уравнение для \( R^3 \)

Разделим обе стороны уравнения на \( 2\pi \):
\[
R^3 = \frac{114}{2\pi} = \frac{57}{\pi}
\]

### Шаг 7: Находим радиус шара

Теперь нам нужно найти радиус \( R \):
\[
R = \sqrt[3]{\frac{57}{\pi}}
\]

### Шаг 8: Объём шара

Объём шара вычисляется по формуле:
\[
V_s = \frac{4}{3} \pi R^3
\]

### Шаг 9: Подставляем значение \( R^3 \)

Теперь подставим значение \( R^3 \):
\[
V_s = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{57}{\pi}\right) = \frac{4 \times 57}{3} = \frac{228}{3} = 76
\]

### Ответ

Объём шара составляет \( 76 \) кубических единиц.

### Заключение

Таким образом, для задачи о нахождении объёма шара, описанного около цилиндра, мы использовали свойства геометрии и математические формулы, что позволило пройти через все шаги ленилось получить конечный результат. Это демонстрирует, как взаимосвязаны различные фигуры и как можно применять алгебру для решения практических геометрических задач.