Как решить: Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 116?

Для решения задачи о нахождении объема треугольной пирамиды EABC, исходя из объема правильной четырехугольной пирамиды SABCD, давайте разберем шаги более подробно.

### Шаг 1: Понимание структуры пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида SABCD состоит из:
- основания ABCD — квадрат, равноудаленный от вертикали.
- вершины S, которая находится непосредственно над центром основания.
  
Объем четырехугольной пирамиды рассчитывается по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h
\]

где \(S_{основания}\) — площадь основания (квадрата ABCD), а \(h\) — высота пирамиды (расстояние от вершины S до основания ABCD).

### Шаг 2: Определение параметров пирамиды

Из условия мы знаем, что объем пирамиды SABCD равен 116. Таким образом, можем выразить:

\[
116 = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h
\]

### Шаг 3: Находим объем пирамиды EABC

Теперь рассмотрим точку E, которая является серединой ребра SB. Пирамида EABC имеет следующее:
- Основание ABC — такое же, как у пирамиды SABCD, то есть остается квадрат.
- Вершина E (середина ребра SB) находит на высоте \( \frac{h}{2} \), так как E — середина отрезка SB.

### Шаг 4: Объем пирамиды EABC

Объем пирамиды EABC также выводится по аналогии:

\[
V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h_E
\]

где:
- \(h_E\) — высота пирамиды EABC, которая равна \( \frac{h}{2} \).

### Шаг 5: Площадь основания

Поскольку основание ABC в обеих пирамидах одинаково, обозначим его площадь как \(S_{ABC}\). Теперь подставим эту величину в уравнение для объема пирамиды EABC:

\[
V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot \frac{h}{2}
\]

### Шаг 6: Связь между объемами

Можно выразить объем пирамиды EABC через объем пирамиды SABCD. Заметим, что:

\[
V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h\right)
\]

Таким образом:

\[
V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 116 = 58
\]

### Шаг 7: Итог

Таким образом, объем треугольной пирамиды EABC равен:

\[
\boxed{58}
\]

### Дополнительные замечания

- Эта задача затрагивает понятия об объемах многогранников и видам сечений фигур, которые важны в геометрии.
- Учитывая, что E — середина ребра, это также может привести к интересным свойства, например, к уменьшению объема при различных преобразованиях и сечениях пирамид.
- Реальные применения таких расчетов могут быть найдены в архитектуре, дизайне и различных инженерных приложениях, где нужно учитывать эффективное использование пространства.