Как решить: Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 20?

Для решения данной задачи нам нужно разобраться, как вычисляется объем цилиндра, а также определить параметры второго цилиндра на основе условий задачи. 

### Шаг 1: Формула объема цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
\[ V = \pi r^2 h \]
где:
- \( V \) — объем цилиндра,
- \( r \) — радиус основания,
- \( h \) — высота цилиндра,
- \( \pi \) — математическая константа, приблизительно равная 3.14.

### Шаг 2: Условия задачи

Из условия известно, что объем первого цилиндра равен 20. 
То есть:
\[ V_1 = 20 = \pi r_1^2 h_1 \]

### Шаг 3: Параметры второго цилиндра

Согласно условиям задачи:
- Высота второго цилиндра \( h_2 \) в 4 раза меньше, чем у первого цилиндра \( h_1 \): 
\[ h_2 = \frac{h_1}{4} \]

- Радиус основания второго цилиндра \( r_2 \) в 3 раза больше, чем у первого цилиндра \( r_1 \):
\[ r_2 = 3r_1 \]

### Шаг 4: Подставим параметры второго цилиндра в формулу

Теперь подставим новые параметры \( r_2 \) и \( h_2 \) во формулу объема для второго цилиндра:
\[ V_2 = \pi r_2^2 h_2 \]

### Шаг 5: Вставим известные выражения

Подставляем \( r_2 \) и \( h_2 \):
\[ V_2 = \pi (3r_1)^2 \left(\frac{h_1}{4}\right) \]

### Шаг 6: Упростим выражение

Теперь упрощаем:
\[ V_2 = \pi (9r_1^2) \left(\frac{h_1}{4}\right) \]
\[ V_2 = \frac{9\pi r_1^2 h_1}{4} \]

### Шаг 7: Заменяем \( \pi r_1^2 h_1 \)

Согласно определению объема первого цилиндра, мы знаем, что:
\[ \pi r_1^2 h_1 = 20 \]

#### Подставим это значение в уравнение для \( V_2 \):
\[ V_2 = \frac{9 \cdot 20}{4} \]
\[ V_2 = \frac{180}{4} \]
\[ V_2 = 45 \]

### Шаг 8: Итог

Объем второго цилиндра составляет 45.

### Дополнительные размышления

В данной задаче мы использовали пропорции для определения параметров второго цилиндра от первого, что является довольно распространенным подходом в геометрии. Такие задачи показывают, как можно логически связать параметры фигур и выполнять преобразования, чтобы получить нужные результаты.

Этот метод полезен не только в задачах по геометрии, но и в физике и инженерии, где соотношения и пропорции играют ключевую роль при проектировании различных конструкций и анализа систем.

### Заключение

Таким образом, при решении подобных задач важно внимательно следить за условиями и аккуратно подставлять значения, с использованием различных математических преобразований. В нашем случае мы выяснили, что объем второго цилиндра равен 45, используя лишь известные зависимости между его параметрами и параметрами первого цилиндра.