Как решить: Первый член последовательности целых чисел равен 0?

Для решения данной задачи мы определим вероятностную модель и проанализируем ее шаг за шагом. Рассмотрим последовательность \(X_n\), где \(X_1 = 0\) и каждый следующий член определяется следующим образом:

1. **Обозначение вероятностей**:
   - С вероятностью \(p = 0,8\) следующий член последовательности увеличивается на 1: \(X_{n+1} = X_n + 1\).
   - С вероятностью \(1 - p = 0,2\) следующий член уменьшается на 1: \(X_{n+1} = X_n - 1\).

2. **Цели**:
   - Нам нужно выяснить вероятность того, что хотя бы один из членов последовательности примет значение \(-1\).

3. **Модель случайного блуждания**:
   - Эта последовательность можно рассматривать как случайное блуждание на числовой прямой, где положение изменяется с шагами в \(-1\) и \(+1\) с указанными вероятностями.
   - Начальное положение — 0 (то есть \(X_1 = 0\)).

4. **Анализ событий**:
   - Состояние \(-1\) может быть достигнуто, если последовательность сделает хотя бы один шаг в сторону уменьшения (на -1) до того, как она вернётся на 0.

5. **Вероятность достижения -1**:
   - Чтобы достичь состояния \(-1\), нужно, чтобы последовательность сделала шаг в сторону уменьшения при первом же шаге:
     - Вероятность того, что \(X_2 = -1\): \(1 - p = 0,2\).
   - Если \(X_2\) будет равен \(1\) (что происходит с вероятностью \(0,8\)), необходимо дальнейшее изучение последовательности.

6. **Доступ к состоянию -1 после первого шага**:
   - Если \(X_2 = 1\), дальнейшее изменение положения определяется случайным блужданием, которое также может привести к состоянию \(-1\). Это уже более сложная задача, зависимая от последующих шагов.

7. **Использование результатов случайного блуждания**:
   - Для данной вероятностной модели вероятность достижения \(-1\) в бесконечном сроке может быть проиллюстрирована через теорему о случайном блуждании: Если \(p \leq 0,5\), блуждание возвращается в начальное состояние с вероятностью 1. Однако у нас \(p = 0,8\), следовательно, вероятность возвращения в \(-1\) становится меньше.

8. **Построение вероятностной модели**:
   - Вероятность не достичь \(-1\) можно выразить через вероятностные коэффициенты и теории на основе генераций функций. В данном случае это сложные вычисления.

9. **Вероятностный итог**:
   - Практически доказано, что вероятность достижения \(-1\) хорошо охватывается теорией поглощения для таких блужданий. В данном случае событие с шагом вниз при \(p > 0,5\) ведет к тому, что с учетом бесконечного числа шагов вероятность \(P(-1)\) становится выраженной благодаря многоразовости изменения позиций.

10. **Ответ**:
    - Согласно оценкам, можно утверждать, что хотя бы одна из \(X_n\) имеет вероятность достижения значения \(-1\) будет приближаться к нулю с ростом \(n\). Это объясняется вероятностью отклонения и построением второго состояния, которое требует более глубокого анализа блуждания, чтобы точно указать на конечные пределы.

Таким образом, окончательно можно сказать, что вероятность того, что хотя бы один член последовательности станет равен \(-1\), есть вероятность, которая становится заметно малой при увеличении численности шагов из-за превышения успехов на углубление.