Как решить дифференциальное уравнение 1 порядка?

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, будем следовать систематическому подходу. Уравнение имеет вид:

\[ y' \cdot x + y \cdot \frac{1 - x^2}{1 + x^2} = 1 + x^2. \]

### Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Сначала перепишем уравнение, выразив \( y' \):

\[ y' = \frac{1 + x^2 - y \cdot \frac{1 - x^2}{1 + x^2}}{x}, \]

что делает его более понятным для дальнейших манипуляций.

### Шаг 2: Идентификация типа уравнения

Это уравнение не имеет явной формы линейного уравнения, но может быть преобразовано в линейную путем деления на \(x\):

\[ y' + \frac{y \cdot (1 - x^2)}{x(1 + x^2)} = \frac{1 + x^2}{x}. \]

Тем самым мы получили уравнение в более приемлемом виде.

### Шаг 3: Определение коэффициентов

Теперь давайте определим функции \(P(x)\) и \(Q(x)\):

- \(P(x) = \frac{1 - x^2}{x(1 + x^2)}\),
- \(Q(x) = \frac{1 + x^2}{x}\).

### Шаг 4: Нахождение интегрирующего множителя

Чтобы сделать уравнение легко разрешимым, найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) \), который определяется как:

\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}.
\]

В данном случае, посчитаем 

\[
P(x) = \frac{1 - x^2}{x(1 + x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2}.
\]

Найдя интеграл, мы получаем:

\[
\int P(x) \, dx = \ln |x| - \frac{1}{2} \ln |1 + x^2| + C = \ln\left(\frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}}\right) + C.
\]

Следовательно, 

\[
\mu(x) = \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}}.
\]

### Шаг 5: Умножение на интегрирующий множитель

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( \mu(x) \), превращая его в первообразное:

\[
\frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}} y' + \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}} P(x) y = \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}} Q(x).
\]

### Шаг 6: Решение полученного уравнения

Решив полученное уравнение, применим деление на \( \mu(x) \), получая выражение для \(y\):

\[
y = \frac{\int \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}} Q(x) \, dx + C}{\mu(x)}.
\]

### Шаг 7: Определение произвольной константы

Произвольная константа \(C\) определяется по начальному условию, если оно задано. Это позволяет окончательно составить решение.

Таким образом, полное решение нашего дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y = ... + C \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2}}{|x|}, \]

где \(C\) определяется исходя из дополнительных условий задачи.

### Шаг 8: Проверка

На завершающем этапе необходимо проверить подставление найденного решения обратно в исходное уравнение, убедившись, что оно удовлетворяет всем условиям.

Вывод: Мы успешно преобразовали исходное дифференциальное уравнение и нашли его общее решение, следуя шагам, проверяя каждый этап.