Как вычислить интеграл от pi/4 до 2pi/3 dx/cos^2x?

Чтобы вычислить интеграл от \(\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{2\pi}{3}\) функции \(\frac{1}{\cos^2 x}\), давайте следовать последовательным шагам. 

### Шаг 1: Определение функции
Функция \(\frac{1}{\cos^2 x}\) известна как \(\sec^2 x\). Мы можем переписать интеграл следующим образом:

\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{2\pi}{3}} \sec^2 x \, dx
\]

### Шаг 2: Поиск первообразной
Первообразная функции \(\sec^2 x\) известна и равна \(\tan x\). Следовательно, мы можем записать наш интеграл как:

\[
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\]

где \(C\) — произвольная константа.

### Шаг 3: Применение формулы интегрирования
Теперь мы применим формулу Фундаментальной теоремы интег calculus (ФТИ), которая гласит, что если \(F\) - первообразная функции \(f\), то:

\[
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
\]

В нашем случае:

\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{2\pi}{3}} \sec^2 x \, dx = \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
\]

### Шаг 4: Вычисление значений тангенса
Теперь мы найдем значения тангенса для указанных углов:

1. **\(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\)**:
   \[
   \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
   \]

2. **\(\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)**:
   Угол \(\frac{2\pi}{3}\) располагается во втором квадранте, где тангенс отрицателен. Чтобы найти значение, используем свойство:
   \[
   \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)
   \]
   Мы знаем, что \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), таким образом:
   \[
   \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}
   \]

### Шаг 5: Подстановка значений
Теперь подставим найденные значения в наш интеграл:

\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{2\pi}{3}} \sec^2 x \, dx = -\sqrt{3} - 1
\]

### Шаг 6: Итоговый ответ
Таким образом, окончательный результат будет:

\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = -\sqrt{3} - 1
\]

Этот интеграл показывает, как важна работа с тригонометрическими функциями и их свойствами в контексте интегрирования. Используя основные свойства и первообразные, мы смогли аккуратно вывести решение. Рекомендуется всегда учитывать значения тригонометрических функций на ключевых углах для упрощения расчётов.