Как решить: Кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 7 очков?

Для решения задачи о вероятности события «хотя бы раз выпало 5 очков» при условии, что сумма выпавших очков за три броска кости составляет 7, давайте разберёмся с несколькими этапами.

### Этап 1: Определение возможных комбинаций

Первое, что нам нужно сделать, — определить все возможные комбинации трёх бросков кубика, которые в сумме дают 7. Обозначим результаты трёх бросков как \( x_1, x_2, x_3 \), где \( 1 \leq x_i \leq 6 \).

Итак, мы ищем все такие комбинации, для которых:

\[
x_1 + x_2 + x_3 = 7
\]

Вот возможные комбинации (представленные в виде тройок):

1. (1, 1, 5)
2. (1, 2, 4)
3. (1, 3, 3)
4. (1, 4, 2)
5. (1, 5, 1)
6. (2, 1, 4)
7. (2, 2, 3)
8. (2, 3, 2)
9. (2, 4, 1)
10. (3, 1, 3)
11. (3, 2, 2)
12. (3, 3, 1)
13. (4, 1, 2)
14. (4, 2, 1)
15. (5, 1, 1)

Сначала перечислим комбинации с повторениями, чтобы учесть все возможные перестановки:

- (1, 1, 5)
- (1, 2, 4)
- (1, 3, 3)
- (2, 2, 3)
- (3, 1, 3)

Теперь сочетая и перемешивая, получаем:
- (1, 1, 5) — 3 перестановки
- (1, 2, 4) — 6 перестановок
- (1, 3, 3) — 3 перестановки
- (2, 2, 3) — 3 перестановки
- (5, 1, 1) — 3 перестановки

Суммируя все перестановки, получаем всего 15 возможных комбинаций.

### Этап 2: Выявление благоприятных случаев

Теперь необходимо выяснить, сколько из найденных комбинаций содержат «хотя бы раз 5 очков». Из возможных комбинаций это:

- (1, 1, 5) — 3 перестановки
- (5, 1, 1) — 3 перестановки

Таким образом, у нас имеется 6 благоприятных случаев.

### Этап 3: Вычисление вероятности

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность. Вероятность события \( P \) рассчитывается по формуле:

\[
P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}
\]

В нашем случае получается:

\[
P = \frac{6}{15}
\]

Упростим:

\[
P = \frac{2}{5} \quad \text{или} \quad P = 0.4
\]

### Этап 4: Заключение

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один раз выпало 5 очков, при условии, что сумма очков за три броска составляет 7, равна 0.4, или 40%. Это довольно интересный результат, показывающий, что в условиях ограниченной суммы, возможность выпадения высоких значений сохраняет свою значимость!