Как решить: Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40?

Чтобы решить задачу о нахождении площади треугольника при данных условиях, давайте шаг за шагом разберем каждый аспект.

### Исходные данные:
1. Периметр треугольника: \( P = 120 \)
2. Одна из сторон: \( a = 40 \)
3. Радиус вписанной окружности: \( r = 7 \)

### Шаг 1: Нахождение остальных сторон треугольника
Периметр треугольника определяется как сумма всех его сторон. Обозначим остальные стороны как \( b \) и \( c \). Тогда у нас есть уравнение:
\[ 
a + b + c = P 
\]
Подставим известные значения:
\[ 
40 + b + c = 120 
\]
Отсюда:
\[ 
b + c = 80 
\]

### Шаг 2: Применение формулы для радиуса вписанной окружности
Для любого треугольника площадь можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр. Полупериметр \( s \) треугольника равен:
\[ 
s = \frac{P}{2} = \frac{120}{2} = 60 
\]

Согласно формуле для площади \( S \):
\[ 
S = r \cdot s 
\]
Подставим значения:
\[ 
S = 7 \cdot 60 = 420 
\]

Таким образом, мы вычислили площадь треугольника, исходя из известного радиуса вписанной окружности и периметра. Площадь \( S \) нашлась равной 420 квадратным единицам.

### Шаг 3: Взаимосвязь сторон и площади
Для лучшего понимания, давайте рассмотрим, как стороны \( a \), \( b \) и \( c \) взаимодействуют для достижения такой площади. Известно, что площадь может быть также выражена через стороны треугольника:
\[ 
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 
\]
Где:
- \( s-a = 60 - 40 = 20 \)
- \( s-b = 60 - b \)
- \( s-c = 60 - c \)

Необходимо обеспечить соответствие между значениями \( b \) и \( c \) так, чтобы при подстановке получалась необходимая площадь в 420. Мы уже знаем, что \( b + c = 80 \).

### Шаг 4: Условия для сторон
Чтобы существовал треугольник, необходимо также учитывать неравенства треугольника:
1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Поскольку \( b + c = 80 \) и \( a = 40 \), это условие всегда будет выполняться. Однако другие два условия необходимо проверить при поиске конкретных значений для \( b \) и \( c \).

### Шаг 5: Проверка и вывод
Ставя \( b \) и \( c \) как переменные, мы можем найти комбинации, которые также удовлетворяют формуле площади, однако \( S = 420 \) уже подтверждено из радиуса и полупериметра, поэтому прямое вычисление значений сторон может быть излишним.

В конце концов, площадь нашего треугольника равна \( 420 \) квадратных единиц, и радиус вписанной окружности также подтверждает это значение. Таким образом, наш окончательный ответ:
**Площадь треугольника составляет 420 квадратных единиц.**