Как решить: Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше?

Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберем все условия и выведем уравнения. Мы используем пропускные способности труб и время, необходимое для заполнения резервуара. Определим переменные и рассмотрим два основных условия задачи.

1. **Определение переменных**:
   - Обозначим скорость второй трубы как \( v \) литров/минуту.
   - Тогда скорость первой трубы будет \( v - 16 \) литров/минуту (так как она пропускает на 16 литров меньше).

2. **Объем резервуара**:
   - Объем резервуара составляет 105 литров, и для его заполнения первой трубе требуется больше времени, чем второй.

3. **Время заполнения**:
   - Время, необходимое для заполнения резервуара второй трубой:
     \[
     t_2 = \frac{105}{v}
     \]
   - Время, необходимое для заполнения резервуара первой трубой:
     \[
     t_1 = \frac{105}{v - 16}
     \]

4. **Разница во времени**:
   - По условию задачи, вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая труба. Это можно записать в виде уравнения:
     \[
     t_1 = t_2 + 4
     \]

5. **Подстановка и упрощение**:
   - Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение:
     \[
     \frac{105}{v - 16} = \frac{105}{v} + 4
     \]
   - Умножим обе стороны уравнения на \( v(v - 16) \) для устранения дробей (предполагая, что \( v \neq 0 \)):
     \[
     105v = 105(v - 16) + 4v(v - 16)
     \]
   - Раскроем скобки:
     \[
     105v = 105v - 1680 + 4v^2 - 64v
     \]
   - Упрощая уравнение, получаем:
     \[
     0 = 4v^2 - 64v - 1680
     \]
   - Разделим все на 4 для упрощения:
     \[
     0 = v^2 - 16v - 420
     \]

6. **Решение квадратного уравнения**:
   - Применим формулу решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) (где \( a = 1, b = -16, c = -420 \)):
     \[
     v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420)}}{2 \cdot 1}
     \]
     \[
     = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{2}
     = \frac{16 \pm \sqrt{1936}}{2}
     = \frac{16 \pm 44}{2}
     \]

   - Теперь мы имеем два возможных значения:
     \[
     v_1 = \frac{60}{2} = 30 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-28}{2} = -14
     \]

   - Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем \( v = 30 \) литров/минуту.

7. **Итак, ответы на условия задачи**:
   - Пропускная способность второй трубы составляет 30 литров/минуту.
   - Пропускная способность первой трубы, соответственно, составляет \( 30 - 16 = 14 \) литров/минуту.

8. **Проверка**:
   - Проверим, насколько быстро заполняется резервуар:
     - Время для второй трубы: \( t_2 = \frac{105}{30} = 3.5 \) мин.
     - Время для первой трубы: \( t_1 = \frac{105}{14} \approx 7.5 \) мин.
   - Разница составляет \( 7.5 - 3.5 = 4 \) минуты, что подтверждает правильность решения.

Таким образом, пропускная способность второй трубы равна \( 30 \) литров/минуту, а первой трубы — \( 14 \) литров/минуту, что соответствует условиям задачи.