Как решить: Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20?

Для решения задачи о нахождении площади треугольника с известными параметрами, сначала рассмотрим данные. У нас есть:

1. Периметр треугольника \( P = 50 \).
2. Одна из сторон \( a = 20 \).
3. Радиус вписанной окружности \( r = 4 \).

Построим план решения, разделив его на несколько шагов.

### Шаг 1: Определение других сторон треугольника

Поскольку один из параметров - это периметр, а одна сторона известна, можно найти сумму двух других сторон. Обозначим их за \( b \) и \( c \):

\[
b + c = P - a = 50 - 20 = 30
\]

Теперь мы можем выразить \( c \) через \( b \):

\[
c = 30 - b
\]

### Шаг 2: Использование формулы площади через радиус вписанной окружности

Существует формула для нахождения площади треугольника \( S \) через радиус вписанной окружности и полупериметр:

\[
S = r \cdot s
\]

где \( s \) - полупериметр. Полупериметр рассчитывается как:

\[
s = \frac{P}{2} = \frac{50}{2} = 25
\]

Теперь подставим значение радиуса:

\[
S = r \cdot s = 4 \cdot 25 = 100
\]

### Шаг 3: Проверка условий существования треугольника

Теперь необходимо проверить, возможен ли треугольник с данными сторонами и радиусом вписанной окружности. Условия существования треугольника:

1. Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
2. Мы знаем, что одна сторона \( a = 20 \), и приподнимаем условие на основе \( b \) и \( c \).

Сначала вспомним выражение для \( c \):

\[
c = 30 - b
\]

Теперь рассмотрим неравенства:

1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Подставим значения:

1. \( 20 + b > 30 - b \) \(\implies 2b > 10 \implies b > 5\)
2. \( 20 + (30 - b) > b \) \(\implies 50 - b > b \implies 50 > 2b \implies b < 25\)
3. \( b + (30 - b) > 20 \) \(\implies 30 > 20\), этот случай верный.

Таким образом, значение \( b \) может варьироваться в пределах \( 5 < b < 25 \).

### Шаг 4: Площадь треугольника

На заключительном этапе, учитывая, что площадь треугольника определена, можно сказать, что площадь равна 100 квадратным единицам при всех указанных условиях:

\[
S = 100 \text{ кв. единиц}
\]

### Заключение

Мы детально исследовали треугольник с описанными параметрами и подтвердили, что он действительно существует, соблюдая условия неравенств. Площадь этого треугольника равна 100 квадратных единиц.