Как решить: Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась?

Для решения задачи о моторной лодке, которое движется как против течения, так и по течению реки, давайте разберёмся с условиями более подробно.

### Исходные данные
1. **Дистанция в одну сторону:** 48 км
2. **Скорость лодки в неподвижной воде:** 8 км/ч
3. **Разница во времени:** Обратный путь занял на 8 часов меньше времени, чем путь против течения.

### Необходимые обозначения
- **v:** скорость течения реки (км/ч)
- **t1:** время в пути против течения (часы)
- **t2:** время в пути по течению (часы)

### Расчёты
1. **Скорость против течения:**
   - Когда лодка движется против течения, её фактическая скорость составит: 
   \[
   v_{\text{против}} = v_{\text{лодки}} - v = 8 - v \text{ (км/ч)}
   \]
   - Время в пути против течения:
   \[
   t_1 = \frac{48}{8 - v}
   \]

2. **Скорость по течению:**
   - Когда лодка плывёт по течению, её фактическая скорость составит:
   \[
   v_{\text{по}} = v_{\text{лодки}} + v = 8 + v \text{ (км/ч)}
   \]
   - Время в пути по течению:
   \[
   t_2 = \frac{48}{8 + v}
   \]

3. **Условие разницы во времени:**
   - Поскольку известно, что обратный путь занял на 8 часов меньше, мы можем записать следующее уравнение:
   \[
   t_1 - t_2 = 8
   \]
   Подставив значения:
   \[
   \frac{48}{8 - v} - \frac{48}{8 + v} = 8
   \]

### Упрощение уравнения
1. Умножим обе стороны уравнения на \((8 - v)(8 + v)\) для устранения знаменателей:
\[
48(8 + v) - 48(8 - v) = 8(8 - v)(8 + v)
\]
2. Раскрываем скобки:
\[
48 \cdot 8 + 48v - 48 \cdot 8 + 48v = 8(64 - v^2)
\]
3. Сокращаем и упрощаем:
\[
96v = 512 - 8v^2
\]

### Переписывание в стандартный вид
\[
8v^2 + 96v - 512 = 0
\]
Чтобы решить это квадратное уравнение, можно разделить все его коэффициенты на 8:
\[
v^2 + 12v - 64 = 0
\]

### Нахождение корней квадратного уравнения
Для решения используем дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400
\]
Корни уравнения:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 20}{2}
\]
Таким образом, у нас два решения:
1. \(v_1 = \frac{8}{2} = 4 \text{ km/h}\)
2. \(v_2 = \frac{-32}{2} = -16 \text{ km/h} \) (отрицательное значение не подходит)

### Ответ
Скорость течения реки составляет **4 км/ч**. 

Теперь мы знаем, что река имеет скорость течения 4 км/ч, что позволяет нам глядеть на ситуацию с нового ракурса. Понимание того, как скорость течения влияет на время в пути, даёт нам ясное представление о реальных условиях, с которыми сталкиваются моряки и лодочники.