Как решить: Периметр треугольника равен 14, одна из сторон равна 4?

Чтобы решить задачи, связанные с треугольником, учитывающим периметр, одну из сторон и радиус вписанной окружности, мы можем следовать структурированному подходу. Давайте подробно разберем ваш случай:

### Шаг 1: Определение параметров треугольника
Сначала обозначим параметры треугольника:
- Периметр \( P = 14 \)
- Одна из сторон \( a = 4 \)
- Обозначим остальные стороны как \( b \) и \( c \).

Согласно свойству периметра:
\[
a + b + c = P
\]
Подставим известные значения:
\[
4 + b + c = 14
\]
Это дает нам уравнение:
\[
b + c = 10
\]
Нас не интересует конкретное значение сторон \( b \) и \( c \) на данном этапе, лишь то, что сумма этих сторон равна 10.

### Шаг 2: Связь радиуса вписанной окружности и площади
Известно, что формула для площади треугольника \( S \) через радиус вписанной окружности \( r \) и полупериметр \( s \) треугольника выглядит следующим образом:
\[
S = r \cdot s
\]
Где полупериметр \( s \) рассчитывается как:
\[
s = \frac{P}{2} = \frac{14}{2} = 7
\]
Подставим значения в формулу:
\[
S = 5 \cdot 7 = 35
\]

### Шаг 3: Проверка результата
Теперь нам нужно убедиться, что такое значение площади может быть реализовано с данными сторонами. Для этого мы можем вычислить длины сторон и проверить их совместимость с неравенством треугольника. 

Рассмотрим \( b \) и \( c \) как переменные. Мы знаем, что:
1. \( b + c = 10 \)
Примем, что одна из сторон \( b \) может варьироваться, тогда другая сторона \( c = 10 - b \).

**Неравенство треугольника** должно выполняться для любых трех сторон:
- \( a + b > c \)
- \( a + c > b \)
- \( b + c > a \)

Подставляем:
1. \( 4 + b > 10 - b \) \( \Rightarrow 2b > 6 \Rightarrow b > 3 \)
2. \( 4 + (10 - b) > b \) \( \Rightarrow 14 - b > b \Rightarrow 14 > 2b \Rightarrow b < 7 \)
3. \( b + (10 - b) > 4 \) \( \Rightarrow 10 > 4 \) (это неравенство всегда верно)

Таким образом, \( 3 < b < 7 \). Это означает, что \( b \) может принимать значения от 3 до 7.

### Шаг 4: Заключение
С учетом всех вышеизложенных рассуждений, мы можем с уверенностью сказать, что:
- Площадь данного треугольника составляет \( 35 \) при указанных условиях.
- Стороны треугольника могут быть найдены в диапазоне, который удовлетворяет неравенствам треугольника, следовательно, такая конфигурация возможна.

Таким образом, мы нашли площадь треугольника и удостоверились в том, что она соответствует заданным параметрам, что позволяет сделать заключение о корректности найденного результата.