Как решить: Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15?

Чтобы решить задачу о нахождении площади треугольника, зная его периметр и одну из сторон, а также радиус вписанной окружности, следуем определенному плану:

### Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть треугольник с периметром \( P = 54 \) и одной из сторон \( a = 15 \). Также мы знаем радиус вписанной окружности \( r = 1 \). Наша цель — найти площадь треугольника.

### Шаг 2: Ввод необходимых обозначений
Обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \). Известно:
- \( a = 15 \)
- Периметр \( P = a + b + c = 54 \)
- Следовательно, \( b + c = 54 - 15 = 39 \)

### Шаг 3: Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь треугольника \( S \) можно выразить через радиус вписанной окружности следующим образом:
\[
S = r \cdot s
\]
где \( s \) — это полупериметр треугольника:
\[
s = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27
\]

### Шаг 4: Подставим данные в формулу площади
Теперь, используя радиус вписанной окружности:
\[
S = r \cdot s = 1 \cdot 27 = 27
\]
Таким образом, площадь нашего треугольника равна \( S = 27 \).

### Шаг 5: Проверка условия со сторонами
Теперь стоит проверить, удовлетворяют ли стороны треугольника условиям, заданным теорией о треугольниках. Обозначим стороны \( b \) и \( c \):
- \( b + c = 39 \)

Для завершения решения можно выразить одну сторону через другую, например, \( b = x \) и \( c = 39 - x \). Не забываем, что для треугольника должны выполняться условия существования:
1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Подставим:
1. \( 15 + x > 39 - x \) \(\Rightarrow 2x > 24 \Rightarrow x > 12\)
2. \( 15 + (39 - x) > x \) \(\Rightarrow 54 - x > x \Rightarrow 54 > 2x \Rightarrow x < 27\)
3. \( x + (39 - x) > 15 \) \(\Rightarrow 39 > 15\) — это всегда верно.

Таким образом, \( 12 < x < 27 \) описывает возможные значения для стороны \( b \).

### Заключение
Оказалось, мы нашли площадь треугольника, равную \( S = 27 \), зная при этом радиус вписанной окружности и периметр. Условие существования треугольника также довольно комфортно соблюдается для сторон, находящихся в диапазоне от \( 12 \) до \( 27 \). Таким образом, это решение удовлетворяет всем необходимым условиям. Треугольник может существовать при любых значениях сторон \( b \) и \( c \) из найденного диапазона.