Как решить: Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21?

Для решения задачи о треугольнике, с известным периметром, одной из сторон и радиусом вписанной окружности, последовательно пройдемся по стадиям.

Дано:

1. Периметр треугольника \( P = 71 \).
2. Одна из сторон (обозначим её \( a \)) равна \( 21 \).
3. Радиус вписанной окружности \( r = 6 \).

Цель:

Найти площадь треугольника \( S \).

Шаг 1: Вычисление других сторон

Обозначим оставшиеся стороны треугольника как \( b \) и \( c \). Поскольку мы знаем периметр, можно записать:

\[
a + b + c = P
\]

Подставляем известные значения:

\[
21 + b + c = 71
\]

Отсюда находим сумму \( b + c \):

\[
b + c = 71 - 21 = 50
\]

Это означает, что сумма оставшихся двух сторон равна 50.

Шаг 2: Использование радиуса вписанной окружности

Площадь \( S \) треугольника также можно вычислить по формуле, связанной с радиусом вписанной окружности:

\[
S = r \cdot s
\]

Где \( s \) — полупериметр треугольника. Полупериметр можно определить как:

\[
s = \frac{P}{2} = \frac{71}{2} = 35.5
\]

Теперь можем найти площадь:

\[
S = r \cdot s = 6 \cdot 35.5 = 213
\]

Таким образом, площадь треугольника равна \( 213 \) квадратных единиц.

Шаг 3: Проверка законов треугольника

Теперь, убедившись в правильности и логичности вычислений, важно также удостовериться, что стороны \( a \), \( b \), и \( c \) выполняют неравенство треугольника:

Сначала выразим \( c \) через \( b \):

\[
c = 50 - b
\]

Теперь проверим три неравенства:

1. \( a + b > c \):

\[
21 + b > 50 - b \implies 2b > 29 \implies b > 14.5
\]

2. \( a + c > b \):

\[
21 + (50 - b) > b \implies 71 - b > b \implies 71 > 2b \implies b < 35.5
\]

3. \( b + c > a \):

\[
b + (50 - b) > 21 \implies 50 > 21 \quad \text{(всегда истинно)}
\]

Соотношение \( b > 14.5 \) и \( b < 35.5 \) устанавливает допустимый интервал для \( b \).

Заключение

С стороны \( b \) может принимать значения от \( 14.5 \) до \( 35.5 \). Таким образом, все условия для существования треугольника соблюдены.

Расчет показывает, что площадь данного треугольника составляет \( 213 \) квадратных единиц. Этот процесс подчеркивает важное сочетание математических методов и практических проверок для нахождения решения.