Как решить: В угол C величиной 82° вписана окружность?

Чтобы решить задачу о нахождении угла AOB в описанном угле C, следуя данному условию, давайте рассмотрим процесс пошагово:

### Шаг 1: Понимание задачи

Имеется угол C, величина которого равна 82°. Вписанная окружность касается сторон угла C и создает две точки касания — A и B. Центр окружности обозначен буквой O. Наша цель — вычислить угол AOB.

### Шаг 2: Основные свойства угла и вписанной окружности

1. **Свойство угла с вписанной окружностью**: Вписанная окружность угла касается его сторон, что приводит к образованию двух треугольников: треугольник OAC и треугольник OBC, где A и B — точки касания.
   
2. **Свойство углов**: Углы AOC и BOC являются центральными углами, которые образованы радиусами OA и OB. Изображение этого треугольника поможет визуализировать, какие углы мы имеем.

### Шаг 3: Выражение углов с помощью известных величин

1. **Долгое деление угла**: Угловая сумма прямиков у O:
   \[
   \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC
   \]

2. **Углы треугольника**: В треугольнике AOC и BOC:
   \[
   \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180°
   \]
   И аналогично для треугольника BOC.

3. Поскольку OA и OB — радиусы, мы можем сделать вывод, что \(\angle OAC = \angle OBC\). Обозначив угол OAC равным x, получаем:
   \[
   x + x + \angle AOB = 180°
   \]
   Исходя из этого у нас получится:
   \[
   \angle AOB = 180° - 2x
   \]

### Шаг 4: Вычисление угла x

Мы знаем, что сумма всех углов в угле C равна:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180°
\]
где:
\[
\angle C = 82°
\]
Таким образом:
\[
\angle A + \angle B = 180° - 82° = 98°
\]

1. Из геометрических свойств следует, что:
   \(\angle OAC\) (где A касается первой стороны угла) делит угол C пополам. Поскольку точки касания делят угол пополам, можно записать:
   \(x = \frac{1}{2} \angle C\).

2. Тогда подставив, получаем:
   \[
   x = \frac{1}{2} \cdot 82° = 41°
   \]

### Шаг 5: Подставим x в уравнение для угла AOB

Теперь подставим x в формулу для \(\angle AOB\):
\[
\angle AOB = 180° - 2x = 180° - 2 \cdot 41° = 180° - 82° = 98°
\]

### Заключение

Таким образом, мы нашли, что угол AOB равен 98°. Результат позволяет увидеть, как единое свойство вписанной окружности и основы геометрии приводят к четкому и логичному результату. Важно не только уметь вычислять, но и понимать, как связаны друг с другом различные элементы геометрии. 

Итак, ответ:
\[
\angle AOB = 98°
\]