Как решить: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°?

Для решения задачи о четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, и нахождения угла ABD, следуем нескольким шагам, опираясь на свойства вписанных углов и теоремы о четырехугольниках.

### Шаг 1: Изучение данных
У нас есть четырехугольник ABCD с следующими данными:
- Угол ABC равен 70°.
- Угол CAD равен 49°.

### Шаг 2: Применение свойств вписанных углов
Впечатляющее свойство вписанных углов говорит о том, что угол, опирающийся на одну и ту же дугу окружности, будет равен, если они находятся в одной и той же сфере. Также следует помнить, что противолежащие углы вписанного четырехугольника (в данном случае A и C, и B и D) в сумме равны 180°.

### Шаг 3: Найдем угол BDC
Сначала мы можем вычислить угол BDC. Для этого используем уже упомянутое свойство: угол BDC равен углу ABC, потому что они опираются на одну и ту же дугу AC. Таким образом:
\ angle BDC = angle ABC = 70° \

### Шаг 4: Найдем угол ADB
Теперь нам необходимо найти угол ADB. Учитывая, что сумма углов в треугольнике ACD равна 180°, мы можем записать:
\
angle ACD + angle CAD + angle ADB = 180°
\
Подставим имеющиеся значения. Угол ACD также равен углу BDC (70°), поскольку они опираются на одну и ту же дугу AB:
\
angle ACD = angle BDC = 70°
\
Теперь подставим:
\
70° + 49° + angle ADB = 180°
\
Сложив известные значения, получаем:
\
119° + angle ADB = 180°
\

### Шаг 5: Решение уравнения
Теперь решим уравнение для определения угла ADB:
\
angle ADB = 180° - 119° = 61°
\

### Шаг 6: Найдем угол ABD
Теперь у нас есть угол ADB. По свойству, что сумма углов внутри треугольника ADB также равна 180°, можем найти угол ABD:
\
angle ADB + angle ABD + angle DAB = 180°
\
И подставляем известные значения:
\
61° + angle ABD + 49° = 180°
\
Сложим известные углы:
\
110° + angle ABD = 180°
\
Решим, чтобы найти угол ABD:
\
angle ABD = 180° - 110° = 70°
\

### Итог
Таким образом, угол ABD равен 70°.

Следовательно, ответ на ваш вопрос: 
\
angle ABD = 70°
\

### Заключение
Таким образом, используя свойства вписанных углов и некоторые геометрические факты о сумме углов в треугольнике, мы смогли аккуратно и последовательно определить угол ABD. Это упражнение демонстрирует, как важны взаимосвязи углов и теоремы при работе с геометрическими фигурными и их свойствами, что является основой для дальнейшего изучения геометрии и тригонометрии.