Как решить: В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5?

Для решения задачи о вычислении площади равнобедренной трапеции, в которой основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°, мы можем следовать следующему поэтапному алгоритму:

### Шаг 1: Определение параметров трапеции

Равнобедренная трапеция имеет две параллельные стороны (основания) и две боковые стороны, которые равны. Обозначим:
- \( a = 5 \) (большее основание),
- \( b = 3 \) (меньшее основание),
- угол \( \alpha = 45^\circ \) (угол между боковой стороной и основанием).

### Шаг 2: Определение высоты трапеции

Для нахождения высоты \( h \) равнобедренной трапеции воспользуемся свойствами 45° угла. Так как угол простой, мы можем определить высоту через проекции.

- Обозначим боковую сторону трапеции как \( c \). Из треугольника, который образуется с высотой, мы видим, что:
  \[
  h = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
  \]

- Проекция боковой стороны на основание:
  \[
  x = c \cdot \cos(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
  \]

### Шаг 3: Проекции и вычисление боковой стороны

Зная, что разница между основаниями равна \( a - b = 5 - 3 = 2 \), мы можем записать уравнение, основанное на проекциях боковых сторон на основания:
\[
2x = 2
\]
Отсюда следует, что \( x = 1 \). Поскольку \( x \) — это проекция боковой стороны на основание, мы имеем:
\[
c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \implies c = \sqrt{2}
\]

Теперь можно найти высоту:
\[
h = c \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1
\]

### Шаг 4: Вычисление площади трапеции

Площадь \( S \) трапеции можно рассчитать по формуле:
\[
S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h
\]
Подставив значения:
\[
S = \frac{(5 + 3)}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4
\]

### Результат

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 5 и углом между боковой стороной и основанием 45° составляет \( 4 \) квадратных единицы.

### Дополнительные рассуждения

1. **Интуитивное понимание**: Равнобедренные трапеции обладают симметрией, и это облегчает процесс нахождения высоты и других параметров, поскольку мы можем опираться на равные части.
  
2. **Возможное расширение**: Зная, как вычислять площадь, можно применять данную формулу к другим трапециям, изменяя углы, длины оснований и высоты.

3. **Применение**: Применение подобных задач встречается в геометрии, архитектуре и других областях, требующих учета фигур и их площадей.

Таким образом, данная задача наглядно иллюстрирует основные приемы работы с геометрическими фигурами и позволяет закрепить полученные знания на практике.