Как решить: Основания трапеции равны 7 и 49, одна из бок. сторон равна 18?

Для решения задачи о нахождении площади трапеции с данными основаниями и боковой стороной, давайте разобьем процесс на несколько этапов и подробно рассмотрим каждую часть.

### 1. Определение данных
- Основания трапеции: \( a = 7 \) и \( b = 49 \).
- Одна из боковых сторон: \( c = 18 \).
- Косинус угла между боковой стороной и одним из оснований: \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{7} \).

### 2. Нахождение высоты трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]

где \( h \) — высота трапеции. Чтобы найти \( h \), воспользуемся косинусом угла \( \alpha \). 

Известно, что для боковой стороны \( c \):

\[
h = c \cdot \sin \alpha
\]

Так как мы знаем косинус угла, можем найти синус, используя основное тригонометрическое соотношение:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Подставляем известное значение косинуса:

\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{2\sqrt{10}}{7}\right)^2 = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha + \frac{40}{49} = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{40}{49} = \frac{9}{49}
\]

Тогда:

\[
\sin \alpha = \frac{3}{7}
\]

Теперь можем вычислить высоту:

\[
h = c \cdot \sin \alpha = 18 \cdot \frac{3}{7} = \frac{54}{7}
\]

### 3. Подсчет площади трапеции
Теперь мы можем использовать найденную высоту для вычисления площади. Подставим её в формулу площади трапеции:

\[
S = \frac{(7 + 49) \cdot h}{2} = \frac{56 \cdot \frac{54}{7}}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
S = \frac{56 \cdot 54}{14} = 56 \cdot 3 = 168
\]

### 4. Ответ
Таким образом, площадь трапеции составляет:

\[
\boxed{168}
\]

### 5. Дополнительные уточнения
Следует отметить, что понимание геометрических свойств трапеции достаточно важно для решения более сложных задач. При анализе этого случая важно помнить об аналогичных свойствах и общем понимании геометрических фигур. На будущее полезно ознакомиться с различными методами нахождения площадей, такими как формула Герона для многоугольников, что расширяет кругозор при решении задач.

Кроме того, данный пример иллюстрирует, как знание тригонометрии может быть применено в практических задачах, что является важным навыком для студентов математики и смежных областей.