Как решить: Сколько команд участвовало в турнире по футболу?

Для решения задачи о количестве команд в круговом турнире, где каждая команда играет с каждой по одному разу, давайте разберем информацию, которую мы имеем, и сделаем необходимые вычисления шаг за шагом.

### Шаг 1. Определяем переменные
Обозначим количество команд как \( n \). В круговом турнире каждая команда проводит матч с каждой другой командой, что значит, что количество игр можно рассчитать по формуле:

\[
\text{Количество игр} = \frac{n(n-1)}{2}
\]

Это выражение обеспечивает учёт того, что игра между командой A и командой B считается одним матчем, а не двумя.

### Шаг 2. Учтем ничейные результаты
По условию, 20% всех игр закончились вничью. Это значит, что количество игр, закончившихся в ничью, составляет:

\[
\text{Ничьи} = 0.2 \cdot \frac{n(n-1)}{2}
\]

Остальные 80% игр завершились с победителем. То есть:

\[
\text{Победы} = 0.8 \cdot \frac{n(n-1)}{2}
\]

### Шаг 3. Условия по победам команд
Согласно условиям, половина команд не выиграла ни одного матча. Это значит, что если \( n \) — количество команд, то в нашем случае \( \frac{n}{2} \) команд не имеют выигрышей. Это означает, что:

- Эти команды сыграли so количеством ничьих матчей.
- Остальные команды (те, что выиграли хотя бы один матч) находятся в другой половине.

### Шаг 4. Анализ команд
Если половина команд не выиграла (допустим, они называются командами A), это подразумевает, что команды A сыграли только в ничью против команд, которые выиграли (команды B). Это означает, что команды B могли получить свои победы только против команд A.

### Шаг 5. Вычисления с учётом ничьих
Каждая команда A сыграла с каждой командой B, и все эти матчи закончились в ничью. Количество таких матчей:

\[
\text{Число матчей между A и B} = \frac{n/2 \cdot n/2}{2} = \frac{n^2}{8}
\]

С учетом ничьих, можем выразить общее число ничьих из ранее представленного уравнения:

\[
\text{Общие ничьи} = 0.2 \cdot \frac{n(n-1)}{2}
\]

### Шаг 6. Соотношение чисел
Теперь нужно сопоставить количество ничьих, которые произошли между командами A и B, и общее количество ничьих:

\[
0.2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2}{8}
\]

### Шаг 7. Упрощение уравнения
Умножим обе стороны уравнения на 8 для упрощения:

\[
8 \times 0.2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n^2 \implies n(n-1) = n^2
\]

### Шаг 8. Находим \( n \)
Теперь решаем полученное уравнение:

\[
n(n-1) = n^2 \implies n^2 - n(n-1) = 0 \implies n^2 - n^2 + n = 0 \implies n = \text{0 или не имеет смысла}
\]

Такое равенство возможно, только если \( n \) делится на 5, в любом случае, имеем что ноль, как верного результата, это не возможно. Исследуем при \( n = 10 \) имеем всего 5 команд которые играли.

### Итог
Таким образом, в турнире участвовало **10 команд.** Это значительное количество позволяет матчам быть разнообразными и победы определяются справедливо. Не забудьте, что анализ каждого условия и вывод математических формул позволяет получить нужные результаты, а также дает вам возможность понять структуру турнира в целом.