Как найти корень уравнения log 3 (2 - x) = log 9 16?

Чтобы найти корень уравнения \( \log_3(2 - x) = \log_9 16 \), давайте разберем его по шагам:

### Шаг 1: Упрощение правой части уравнения

Сначала заметим, что \( \log_9 16 \) можно преобразовать к более удобному виду. Обратим внимание на основании логарифма:

\[
\log_9 16 = \frac{\log_3 16}{\log_3 9}
\]

Поскольку \( 9 = 3^2 \), мы можем легко выразить \( \log_3 9 \):

\[
\log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2
\]

Теперь рассчитаем \( \log_3 16 \). Заметим, что \( 16 = 2^4 \), и используя формулу для преобразования логарифмов получаем:

\[
\log_3 16 = \log_3 (2^4) = 4 \log_3 2
\]

Таким образом, мы можем записать:

\[
\log_9 16 = \frac{4 \log_3 2}{2} = 2 \log_3 2
\]

### Шаг 2: Подстановка в уравнение

Теперь мы можем подставить найденное значение правой части в исходное уравнение:

\[
\log_3(2 - x) = 2 \log_3 2
\]

### Шаг 3: Преобразование логарифмического уравнения

Логарифм равен \( 2 \log_3 2 \) может быть представлен как:

\[
\log_3(2 - x) = \log_3(2^2) = \log_3 4
\]

Следовательно, сам логарифм указывает на равенство аргументов (при условии, что они положительны):

\[
2 - x = 4
\]

### Шаг 4: Решение уравнения

Теперь, решаем уравнение:

\[
2 - x = 4
\]

Переносим \( x \) в другую сторону, получаем:

\[
-x = 4 - 2
\]
\[
-x = 2
\]

А значит:

\[
x = -2 
\]

### Шаг 5: Проверка условия

Следует также проверить, удовлетворены ли условия логарифма. Аргумент \( 2 - x \) должен быть положительным:

\[
2 - (-2) = 2 + 2 = 4 > 0 
\]

Условие выполнено. Проверим также, что логарифмы вычислены корректно:

1. \( \log_3(4)  \) определено, так как больше 0.
2. Мы также можем проверить, совпадают ли обе стороны уравнения:

\[
\log_3(4) = 2 \log_3(2) \text{ по свойству логарифмов.}
\]

### Вывод

Таким образом, корень уравнения \( \log_3(2 - x) = \log_9 16 \) равен:

\[
\boxed{-2}
\]

Процесс нахождения корня включает в себя преобразование логарифмических выражений, применение свойств логарифмов и строгую проверку условий значимости выражений. Четко следуя этим шагам, мы добиваемся правильного решения!