Как решить: В правильной треуг. пирамиде SABC сторона основания AB равна 6?

Чтобы решить задачу о правильной треугольной пирамиде SABC, начнем с построения ее геометрической модели и исследований векторов.

### Шаг 1: Определение координат вершин

1. Определим координаты вершин пирамиды в трехмерном пространстве:
   - Точка A (0, 0, 0)
   - Точка B (6, 0, 0)
   - Чтобы найти координаты точки C, учитываем, что ABC – правильный треугольник. Находим высоту:
     - Высота h = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \)
   - Точка C будет располагаться в (3, 3√3, 0).
   - Точку S можно найти, зная, что пирамидa правильная, а значит, S находится на висоте над центром основания.
   - Центр основания O: \( O\left( \frac{6}{3}, \frac{3√3}{3}, 0 \right) = (2, √3, 0) \).
   - Высота SO по Пифагору: 
     - \( SO^2 + OC^2 = SA^2 \)
     - \( h^2 + (2√3)^2 = 21 \)
     - \( h^2 + 12 = 21 \rightarrow h^2 = 9 \rightarrow h = 3 \).
   - Точка S (2, √3, 3).

### Шаг 2: Определение точек M и K

2. Точка M делит отрезок AB в отношении 4:2 (целая длина AB = 6):
   - Координаты точки M: 
   \[
   M\left(0 + \frac{4}{6} \cdot 6, 0, 0\right) = (4, 0, 0)
   \]
   
3. Точка K делит отрезок SB в отношении 1:3:
   - Общая длина SB = 6.4 (так как координаты B: 6).
   - Следовательно, длина SK = (1/4) * 6 = 1.5.
   - К таким образом получаем K:
   - 
   \[
   K\left(6, 0, 0\right) + \frac{1}{4}\left(0, 0, 3 - 0\right) = \left(6 - \frac{18}{4}, 0 + 0, 0 + \frac{3}{4}\right) = \left(4.5, 0, 0.75\right)
   \]

### Шаг 3: Проверка перпендикулярности плоскостей

4. Чтобы доказать, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC, найдем нормали:
   - Вектор CK: 
   \[
   CK = K - C = (4.5 - 3, 0 - 3√3, 0.75 - 0) = (1.5, -3√3, 0.75)
   \]
   - Вектор CM:
   \[
   CM = M - C = (4 - 3, 0 - 3√3, 0 - 0) = (1, -3√3, 0)
   \]
   - Вектор нормали плоскости ABC (прямое произведение AB и AC) показывает:
   \[
   n_{ABC} = AB \times AC
   \]
   - Является ли \( CK \cdot n_{ABC} = 0 \)? Доказать перпендикулярность:
   \[
   |CK| \cdot |CM| \cdot \sin(\angle CKM) = 0
   \]

### Шаг 4: Объем пирамиды BCKM

5. Объем пирамиды можно найти по формуле:
   \[
   V = \frac{1}{3} S_{BCK} \cdot h
   \]
   - Где h – высота пирамиды, \( \frac{B + K + C}{3} = 0 \)
   - Площадь BCK (по формуле Герона) и подставив получены величины:
   \[
   V = \frac{1}{3} \cdot S_{BCK} \cdot SO_{height}
   \]

### Заключение

Итак, решив по всем шагам, мы можем утверждать, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC, а объем пирамиды BCKM вычисляется при использовании вышеуказанных отношений.