Как решить: Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призму?

Чтобы решить задачу, мы начнем с понимания геометрической конструкции, в которую вписан цилиндр, и последовательно рассмотрим необходимые шаги для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной призмы.

### 1. Определение характеристик призмы

Правильная четырехугольная призма состоит из двух параллельных оснований — правильных квадратов — и четырех боковых граней, которые являются прямоугольниками. В данном случае радиус основания вписанного цилиндра равен 3, что и определяет размеры основания призмы.

### 2. Находим сторону основания призм

Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание будет являться окружностью, вписанной в основание призмы. Это означает, что квадрат, являющийся основанием призмы, будет окружен этой окружностью.

Радиус окружности равен 3. Для нахождения стороны квадрата используем формулу:

\[
s = r \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2} \approx 4.24
\]

где \(s\) — сторона квадрата, а \(r\) — радиус окружности.

### 3. Находим высоту призмы

По условию задачи, высота цилиндра равна 3. Так как цилиндр вписан в призму, эта высота также равна высоте призмы. Таким образом, высота призмы:

\[
h = 3
\]

### 4. Площадь боковой поверхности призмы

Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников. Площадь одного прямоугольника, образующего боковую грань, можно найти по формуле:

\[
S_{бок} = s \cdot h
\]

где \(s\) — сторона основания (квадрат), а \(h\) — высота призмы.

Подставляем известные данные:

\[
S_{бок} = (3 \cdot \sqrt{2}) \cdot 3 = 9 \sqrt{2} \approx 12.73
\]

Это площадь одной боковой грани. Поскольку боковых граней четыре, общая площадь боковой поверхности будет равна:

\[
S_{бок. пов.} = 4 \cdot S_{бок} = 4 \cdot 9 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2} \approx 50.91
\]

### 5. Ответ

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, в которую вписан цилиндр радиусом основания 3 и высотой 3, составляет:

\[
S_{бок. пов.} = 36 \sqrt{2}
\]

### 6. Рассмотрение других аспектов

При решении задач подобного рода полезно помнить о зависимости между радиусом вписанного круга и характеристиками оснований тел. Вариации таких задач могут включать изменение параметров, как радиус цилиндра, высота, или даже исследование других многогранников, использующих различные стратегии вписывания.

Такое понимание позволяет не только находить решения для узких вопросов геометрии, но и помогает развивать пространственное мышление и навыки работы с формулами. Надеюсь, данный подход к решению задачи оказался для вас полезным!