ЕГЭ Математика, Как определить объём треугольной призмы?

Определение объема треугольной призмы — это практическое задание, которое требует знания геометрии и формул для вычисления. Рассмотрим, как можно найти объем призмы с прямоугольным треугольником в основании.

### Шаг 1: Понимание структуры задачи

В задаче указано, что основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 3, и гипотенузой, равной \(3\sqrt{5}\). Также известна высота призмы, равная 5. Для решения задачи нам нужно будет найти площадь основания и затем использовать её для вычисления объема.

### Шаг 2: Определение длины второго катета

Прежде чем перейти к вычислениям, давайте убедимся, что у нас есть все данные для нахождения второго катета. В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора, которая гласит:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

где:
- \(c\) — гипотенуза,
- \(a\) и \(b\) — катеты.

В нашем случае:

\[
(3\sqrt{5})^2 = 3^2 + b^2
\]

### Шаг 3: Вычисление второго катета

Теперь подставим значения и решим уравнение:

\[
45 = 9 + b^2
\]

Вычтем 9 из обеих сторон:

\[
b^2 = 45 - 9 = 36
\]

Теперь найдем \(b\):

\[
b = \sqrt{36} = 6
\]

Таким образом, длины катетов нашего треугольника составляют 3 и 6.

### Шаг 4: Нахождение площади основания

Теперь, когда мы знаем оба катета, мы можем найти площадь основания. Площадь \(S\) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

Где \(a\) и \(b\) — длины катетов. Подставляем наши значения:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = \frac{18}{2} = 9
\]

### Шаг 5: Нахождение объема призмы

Теперь, зная площадь основания, можем найти объем призмы \(V\). Формула для объема \(V\) треугольной призмы выглядит так:

\[
V = S \cdot h
\]

где \(h\) — высота призмы. Подставляем известные значения:

\[
V = 9 \cdot 5 = 45
\]

### Вывод

Таким образом, объем прямой призмы, основание которой — прямоугольный треугольник с заданными параметрами и высота равна 5, составляет \(45\) единиц объема.

### Дополнительные аспекты

1. **Проверка корректности вычислений**: Каждое из наших вычислений должно быть пересмотрено для подтверждения правильности. Например, можно использовать приближенные значения для катетов и гипотенузы, чтобы убедиться, что они соответствуют теореме Пифагора.

2. **Геометрические представления**: Иногда полезно визуализировать треугольную призму, чтобы лучше понять процесс нахождения объема. Это можно сделать, нарисовав треугольник и добавив перпендикулярную высоту.

3. **Практическое применение объема**: Знание объема призмы может быть применимо в различных областях, включая архитектуру, проектирование и обработку материалов, где необходимо учитывать пространственные размеры.

В конечном итоге, объем треугольной призмы можно легко вычислить, если следовать четким шагам, как описано выше.