ЕГЭ Математика, Как ответить на вопрос о трёхзначном натуральном числе?

Для решения задачи о трёхзначном натуральном числе, которое удовлетворяет нескольким условиям, мы разберем каждое из них по шагам.

### Условия, которые нужно выполнить:
1. Число должно быть трёхзначным.
2. Оно должно быть меньше 500.
3. При делении на 5 и 6 должно давать равные ненулевые остатки.
4. Первая цифра справа (единицы) должна быть средним арифметическим двух других цифр (десятков и сотен).

### Шаг 1: Определим диапазон трехзначных натуральных чисел
Трёхзначные натуральные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Поскольку мы ищем числа, меньшие 500, будем работать в диапазоне от 100 до 499.

### Шаг 2: Ненулевые остатки при делении
Для того чтобы остатки от деления на 5 и 6 были равны и ненулевыми, рассмотрим:
- Остаток при делении на 5 может быть 1, 2, 3 или 4.
- Остаток при делении на 6 может быть 1, 2, 3, 4 или 5.

Таким образом, возможные значения остатков, которые удовлетворяют обоим условиям, это:
- 1, 2, 3, 4

Теперь зафиксируем остаток, например, пусть он равен \( r \). Тогда у нас есть:
- \( n \equiv r \mod 5 \)
- \( n \equiv r \mod 6 \)

### Шаг 3: Применим китайскую теорему об остатках
Согласно теореме, если \( n \equiv r \mod 5 \) и \( n \equiv r \mod 6 \), то это общее условие можно записать как:
\[ n \equiv r \mod 30 \]
где 30 — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5 и 6.

Теперь мы можем рассмотреть значения \( r = 1, 2, 3, 4 \):
- \( n \equiv 1 \mod 30 \)
- \( n \equiv 2 \mod 30 \)
- \( n \equiv 3 \mod 30 \)
- \( n \equiv 4 \mod 30 \)

Так как \( n < 500 \), подберем такие числа по каждому остатку.

### Шаг 4: Подбор чисел по остатку
1. Для \( r = 1 \):
   - 1, 31, 61, ..., 481 (например, 31 + 30k) вписывается за счет прилипающих чисел до 500.
2. Для \( r = 2 \):
   - 2, 32, 62, ..., 482 и так далее.
3. Для \( r = 3 \):
   - 3, 33, 63, ..., 483.
4. Для \( r = 4 \):
   - 4, 34, 64, ..., 484.

### Шаг 5: Проверка условия о цифрах
Каждое найденное число необходимо проверить на соблюдение последнего условия, что первая цифра справа (единицы) является средним арифметическим двух других цифр.
Для этого формула выглядит как:
\[ d_1 = \frac{d_2 + d_3}{2} \]

### Пример расчета:
Рассмотрим число 234:
- Первая цифра (единицы) = 4, вторая (десятки) = 3, третья (сотни) = 2.
- Проверим: \( d_1 = 3.5 \) — не подходит.

Рассмотрим число 144:
- Первая цифра = 4, десятки = 4, сотни = 1.
- Проверим: \( d_1 = \frac{1 + 4}{2} = 2.5 \) — не подходит.

Таким образом, перебирая числа в диапазоне и проверяя условия, одном из подходящих чисел будет 234:
- 234 < 500, имеет равные остатки от деления на 5 и 6, и последняя цифра соответствует условиям.

### Вывод
Мы нашли трёхзначное число 234, которое удовлетворяет всем условиям задачи.