ЕГЭ Математика, Как найти площадь правильной шестиугольной пирамиды?

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной 24, и боковым ребром, равным 37, необходимо следовать определенной последовательности шагов. Рассмотрим каждый из них подробно:

1. Параметры шестиугольника
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон. В нашем случае длина одной стороны основания составляет 24. Чтобы найти высоту одной боковой грани, необходимо рассмотреть треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания.

2. Высота основания
Для нахождения высоты правильного шестиугольника можно использовать формулу:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
где \( a \) — длина стороны. Подставляем:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 24 = 12\sqrt{3} \]

Однако для нахождения площади боковой поверхности высота основания не нужна, это важный шаг для понимания общей структуры.

3. Нахождение высоты боковой грани
Каждая боковая грань пирамиды образует равнобедренный треугольник, основание которого — сторона шестиугольника (24), а боковые стороны — боковые ребра пирамиды (37). Для нахождения высоты этого треугольника, проведем перпендикуляр из вершины пирамиды до основания.

В каждом равнобедренном треугольнике перпендикуляр, проведенный к основанию, делит его пополам. Поэтому:
- Половина основания равнобедренного треугольника:
\[ \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения высоты \( h_{гран} \):
\[ h_{гран} = \sqrt{(37)^2 - (12)^2} \]
\[ h_{гран} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35 \]

4. Площадь одной боковой грани
Площадь треугольника рассчитывается по формуле:
\[ S_{гран} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]
Подставляем значения:
\[ S_{гран} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 35 = 420 \]

5. Площадь боковой поверхности пирамиды
Поскольку шестиугольная пирамида имеет 6 боковых граней, общая площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) будет равна:
\[ S_{бок} = 6 \cdot S_{гран} \]
\[ S_{бок} = 6 \cdot 420 = 2520 \]

6. Итог
Итак, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, основание которой имеет сторону 24, а боковые ребра равны 37, составляет **2520** квадратных единиц.

Дополнительно
- Понимание структуры правильных шестиугольников может быть полезным для различных задач в геометрии.
- В случае других многоугольных оснований, метод будет аналогичным, но может потребоваться учитывать разные углы и длины.

Эти шаги дают четкое представление о нахождении площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды и как применять геометрические принципы к более сложным формам.