ЕГЭ Математика, Как найти площадь правильной шестиугольной пирамиды?

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной 24, и боковым ребром, равным 37, необходимо следовать определенной последовательности шагов. Рассмотрим каждый из них подробно:

### 1. Параметры шестиугольника
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон. В нашем случае длина одной стороны основания составляет 24. Чтобы найти высоту одной боковой грани, необходимо рассмотреть треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания.

### 2. Высота основания
Для нахождения высоты правильного шестиугольника можно использовать формулу:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
где \( a \) — длина стороны. Подставляем:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 24 = 12\sqrt{3} \]

Однако для нахождения площади боковой поверхности высота основания не нужна, это важный шаг для понимания общей структуры.

### 3. Нахождение высоты боковой грани
Каждая боковая грань пирамиды образует равнобедренный треугольник, основание которого — сторона шестиугольника (24), а боковые стороны — боковые ребра пирамиды (37). Для нахождения высоты этого треугольника, проведем перпендикуляр из вершины пирамиды до основания.

В каждом равнобедренном треугольнике перпендикуляр, проведенный к основанию, делит его пополам. Поэтому:
- Половина основания равнобедренного треугольника:
\[ \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения высоты \( h_{гран} \):
\[ h_{гран} = \sqrt{(37)^2 - (12)^2} \]
\[ h_{гран} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35 \]

### 4. Площадь одной боковой грани
Площадь треугольника рассчитывается по формуле:
\[ S_{гран} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]
Подставляем значения:
\[ S_{гран} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 35 = 420 \]

### 5. Площадь боковой поверхности пирамиды
Поскольку шестиугольная пирамида имеет 6 боковых граней, общая площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) будет равна:
\[ S_{бок} = 6 \cdot S_{гран} \]
\[ S_{бок} = 6 \cdot 420 = 2520 \]

### 6. Итог
Итак, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, основание которой имеет сторону 24, а боковые ребра равны 37, составляет **2520** квадратных единиц.

### Дополнительно
- Понимание структуры правильных шестиугольников может быть полезным для различных задач в геометрии.
- В случае других многоугольных оснований, метод будет аналогичным, но может потребоваться учитывать разные углы и длины.

Эти шаги дают четкое представление о нахождении площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды и как применять геометрические принципы к более сложным формам.